昔在庖犠氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之数,以合六 爻之变。暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道原,然后 两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数,其详未之闻也。按周公制礼而有 九数,九数之流,则《九章》是矣。往者暴秦焚书,经术散坏。自时厥后,汉北 平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补。故 校其目则与古或异,而所论者多近语也。徽幼习 《九章》,长再详览。观陰陽之 割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作 注。事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本榦知,发其一端而已。又所析理以 辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣。且算在六艺,古者 以宾兴贤能,教习 国子;虽曰九数,其能穷纤入微,探测无方;至于以法相传, 亦犹规矩度量可得而共,非特难为也。当今好之者寡,故世虽多通才达学,而未 必能综于此耳。《周官·大司徒》职,夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸,谓 之地中。说云,南戴日下万五千里。夫云尔者,以术推之。案:《九章》立四表 望远及因木望山之术,皆端旁互见,无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以 博尽群数也。徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝 深而兼知其远者必用重差、句股,则必以重差为率,故曰重差也。立两表于洛陽 之城,令高八尺,南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法,表高乘表间 为实,实如法而一。所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表间为实,实如法 而一,即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股,为之求弦,即 日去人也。以径寸之筒南望日,日满筒空,则定筒之长短以为股率,以筒径为句 率,日去人之数为大股,大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度,又况泰山 之高与江 海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物,考论厥数,载之于志,以 阐世术之美,辄造《重差》,并为注解,以究古人之意,缀于句股之下。度高者 重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。触类而长之,则虽幽遐诡 伏,靡所不入,博物君子,详而览焉。
○方田(以御田畴界域) 今有田广十五步,从十六步。问为田几何?答曰:一亩。
又有田广十二步,从十四步。问为田几何?答曰:一百六十八步。
〔图:从十四,广十二。〕 方田术曰:广从步数相乘得积步。
〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。
淳风等按:经云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂。观斯注意,积幂义 同。以理推之,固当不尔。何则?幂是方面单布之名,积乃众数聚居之称。循名 责实,二者全殊。虽欲同之,窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方;其言积者 举众步之都数。经云相乘得积步,即是都数之明文。注云谓之为幂,全乖积步之 本意。此注前云积为田幂,于理得通。复云谓之为幂,繁而不当。今者注释,存 善去非,略为料简,遗诸后学。〕 以亩法二百四十步除之,即亩数。百亩为一顷。
〔淳风等按:此为篇端,故特举顷、亩二法。余术不复言者,从此可知。一 亩之田,广十五步,从而疏之,令为十五行,则每行广一步而从十六步。又横而 截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步,各自为方, 凡有二百四十步。一亩之地,步数正同。以此言之,则广从相乘得积步,验矣。
二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也。故以除之,即得。〕 今有田广一里,从一里。问为田几何?答曰:三顷七十五亩。
又有田广二里,从三里。问为田几何?答曰:二十二顷五十亩。
里田术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。
〔按:此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即 得亩数也。〕 今有十八分之十二,问约之得几何?答曰:三分之二。
又有九十一分之四十九,问约之得几何?答曰:十三分之七。
○约分 〔按:约分者,物之数量,不可悉全,必以分言之;分之为数,繁则难用。
设有四分之二者,繁而言之,亦可为八分之四;约而言之,则二分之一也,虽则 异辞,至于为数,亦同归尔。法实相推,动有参差,故为术者先治诸分。〕 术曰:可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损, 求其等也。以等数约之。
〔等数约之,即除也。其所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之。〕 今有三分之一,五分之二,问合之得几何?答曰:十五分之十一。
又有三分之二,七分之四,九分之五,问合之得几何?答曰:得一、六十三 分之五十。
又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四,问合之得几何?答曰:得 二、六十分之四十三。
○合分 〔淳风等按:合分知,数非一端,分无定准,诸分子杂互,群母参差。粗细 既殊,理难从一,故齐其众分,同其群母,令可相并,故曰合分。〕 术曰:母互乘子,并以为实。母相乘为法。
〔母互乘子。约而言之者,其分粗;繁而言之者,其分细。虽则粗细有殊, 然其实一也。众分错杂,非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。凡母 互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同,共一母也;齐者,子与母齐, 势不可失本数也。方以类聚,物以群分。数同类者无远;数异类者无近。远而通 体知,虽异位而相从也;近而殊形知,虽同列而相违也。然则齐同之术要矣:错 综度数,动之斯谐,其犹佩觿解结,无往而不理焉。乘以散之,约以聚之,齐同 以通之,此其算之纲纪乎?其一术者,可令母除为率,率乘子为齐。〕 实如法而一。不满法者,以法命之。
〔今欲求其实,故齐其子,又同其母,令如母而一。其余以等数约之,即得 知,所谓同法为母,实余为子,皆从此例。〕 其母同者,直相从之。
今有九分之八,减其五分之一,问余几何?答曰:四十五分之三十一。
又有四分之三,减其三分之一,问余几何?答曰:十二分之五。
○减分 〔淳风等按:诸分子、母数各不同,以少减多,欲知余几,减余为实,故曰 减分。〕 术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一。
〔母互乘子知,以齐其子也。以少减多知,齐故可相减也。母相乘为法者, 同其母也。母同子齐,故如母而一,即得。〕 今有八分之五,二十五分之十六,问孰多?多几何?答曰:二十五分之十六 多,多二百分之三。
又有九分之八,七分之六,问孰多?多几何?答曰:九分之八多,多六十三 分之二。
又有二十一分之八,五十分之十七,问孰多?多几何?答曰:二十一分之八 多,多一千五十分之四十三。
○课分 〔淳风等按:分各异名,理不齐一,较其相近之数,故曰课分也。〕 术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一,即相多也。
〔淳风等按:此术母互乘子,以少分减多分,与减分义同;惟相多之数,意 与减分有异:减分知,求其余数有几;课分知,以其余数相多也。〕 今有三分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减 四分之三者二,三分之二者一,并,以益三分之一,而各平于十二分之七。
又有二分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减 三分之二者一,四分之三者四、并,以益二分之一,而各平于三十六分之二十三。
○平分 〔淳风等按:平分知,诸分参差,欲令齐等,减彼之多,增此之少,故曰平 分也。〕 术曰:母互乘子, 〔齐其子也。〕 副并为平实。
〔淳风等按:母互乘子,副并为平实知,定此平实主限,众子所当损益知, 限为平。〕 母相乘为法。
〔母相乘为法知,亦齐其子,又同其母。〕 以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。
〔此当副置列数除平实,若然则重有分,故反以列数乘同齐。
淳风等按:问云所平之分多少不定,或三或二,列位无常。平三知,置位三 重;平二知,置位二重。凡此之例,一准平分不可豫定多少,故直云列数而已。〕 以平实减列实,余,约之为所减。并所减以益于少。以法命平实,各得其平。
今有七人,分八钱三分钱之一。问人得几何?答曰:人得一钱二十一分钱之 四。
又有三人三分人之一,分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何?答曰: 人得二钱八分钱之一。
○经分 〔淳风等按:经分者,自合分已下,皆与诸分相齐,此乃直求一人之分。以 人数分所分,故曰经分也。〕 术曰:以人数为法,钱数为实,实如法而一。有分者通之。
〔母互乘子知,齐其子;母相乘者,同其母。以母通之者,分母乘全内子。
乘,散全则为积分,积分则与子相通,故可令相从。凡数相与者谓之率。率知, 自相与通。有分则可散,分重叠则约也;等除法实,相与率也。故散分者,必令 两分母相乘法实也。〕 重有分者同而通之。
〔又以法分母乘实,实分母乘法。此谓法、实俱有分,故令分母各乘全分内 子,又令分母互乘上下。〕 今有田广七分步之四,从五分步之三,问为田几何?答曰:三十五分步之十 二。
又有田广九分步之七,从十一分步之九,问为田几何?答曰:十一分步之七。
又有田广五分步之四,从九分步之五,问为田几何?答曰:九分步之四。
○乘分 〔淳风等按:乘分者,分母相乘为法,子相乘为实,故曰乘分。〕 术曰:母相乘为法,子相乘为实,实如法而一。
〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分,以乘其实而长之,则亦满法,乃 为全耳。又以子有所乘,故母当报除。报除者,实如法而一也。今子相乘则母各 当报除,因令分母相乘而连除也。此田有广从,难以广谕。设有问者曰:马二十 匹,直金十二斤。今卖马二十匹,三十五人分之,人得几何?答曰:三十五分斤 之十二。其为之也,当如经分术,以十二斤金为实,三十五人为法。设更言马五 匹,直金三斤。今卖马四匹,七人分之,人得几何?答曰:人得三十五分斤之十 二。其为之也,当齐其金、人之数,皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者, 犹齐其金也;母相乘为法者,犹齐其人也。同其母为二十,马无事于同,但欲求 齐而已。又,马五匹,直金三斤,完全之率;分而言之,则为一匹直金五分斤之 三。七人卖四马,一人卖七分马之四。金与人交 互相生。所从言之异,而计数则 三术同归也。〕 今有田广三步三分步之一,从五步五分步之二,问为田几何?答曰:十八步。
又有田广七步四分步之三,从十五步九分步之五,问为田几何?答曰:一百 二十步九分步之五。
又有田广十八步七分步之五,从二十三步十一分步之六,问为田几何?答曰: 一亩二百步十一分步之七。
○大广田 〔淳风等按:大广田知,初术直有全步而无余分;次术空有余分而无全步; 此术先见全步,复有余分,可以广兼三术,故曰大广。〕 术曰:分母各乘其全,分子从之, 〔分母各乘其全,分子从之者,通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕 相乘为实。分母相乘为法。
〔犹乘分也。〕 实如法而一。
〔今为术广从俱有分,当各自通其分。命母入者,还须出之,故令分母相乘 为法而连除之。〕 今有圭田广十二步,正从二十一步,问为田几何?答曰:一百二十六步。
又有圭田广五步二分步之一,从八步三分步之二,问为田几何?答曰:二十 三步六分步之五。
术曰:半广以乘正从。
〔半广知,以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按:半广乘从,以取中 平之数,故广从相乘为积步。亩法除之,即得也。〕 今有邪田,一头广三十步,一头广四十二步,正从六十四步。问为田几何? 答曰:九亩一百四十四步。
又有邪田,正广六十五步,一畔从一百步,一畔从七十二步。问为田几何? 答曰:二十三亩七十步。
术曰:并两斜而半之,以乘正从若广。又可半正从若广,以乘并。亩法而一。
〔并而半之者,以盈补虚也。〕 今有箕田,舌广二十步,踵广五步,正从三十步,问为田几何?答曰:一亩 一百三十五步。
又有箕田,舌广一百一十七步,踵广五十步,正从一百三十五步,问为田几 何?答曰:四十六亩二百三十二步半。
术曰:并踵、舌而半之,以乘正从。亩法而一。
〔中分箕田则为两邪田,故其术相似。又可并踵、舌,半正从,以乘之。〕 今有圆田,周三十步,径十步。
〔淳风等按:术意以周三径一为率,周三十步,合径十步。今依密率,合径 九步十一分步之六。〕 问为田几何?答曰:七十五步。
〔此于徽术,当为田七十一步一百五十七分步之一百三。
淳风等按:依密率,为田七十一步二十三分步之一十三。〕 又有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一。
〔淳风等按:周三径一,周一百八十一步,径六十步三分步之一。依密率, 径五十七步二十二分步之一十三。〕 问为田几何?答曰:十一亩九十步十二分步之一。
〔此于徽术,当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。
淳风等按:依密率,当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕 术曰:半周半径相乘得积步。
〔按:半周为从,半径为广,故广从相乘为积步也。假令圆径二尺,圆中容 六觚之一面,与圆径之半,其数均等。合径率一而外周率三也。
又按:为图,以六觚之一面乘一弧半径,三之,得十二觚之幂。若又割之, 次以十二觚之一面乘一弧之半径,六之,则得二十四觚之幂。割之弥细,所失弥 少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。觚面之外,又有余径。
以面乘余径,则幂出觚表。若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径。表无余径, 则幂不外出矣。以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。
此一周、径,谓至然之数,非周三径一之率也。周三者,从其六觚之环耳。以推 圆规多少之觉,乃弓之与弦也。然世传此法,莫肯精核;学者踵古,习 其谬失。
不有明据,辩之斯难。凡物类形象,不圆则方。方圆之率,诚著于近,则虽远可 知也。由此言之,其用博矣。谨按图验,更造密率。恐空设法,数昧而难譬,故 置诸检括,谨详其记注焉。
割六觚以为十二觚术曰:置圆径二尺,半之为一尺,即圆里觚之面也。令 半径一尺为弦,半面五寸为句,为之求股。以句幂二十五寸减弦幂,余七十五寸, 开方除之,下至秒、忽。又一退法,求其微数。微数无名知以为分子,以十为分 母,约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径,余 一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三,谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之 求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽,余分弃之。
开方除之,即十二觚之一面也。
割十二觚以为二十四觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置上 小弦幂,四而一,得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽,余分弃之, 即句幂也。以减弦幂,其余开方除之,得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之 四。以减半径,余三分四厘七秒四忽五分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽,余分 弃之。开方除之,即二十四觚之一面也。
割二十四觚以为四十八觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置上 小弦幕,四而一,得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽,余分弃之,即 句幂也。以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之 四。以减半径,余八厘五毫五秒五忽五分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽,余分弃之。
开方除之,得小弦一寸三分八毫六忽,余分弃之,即四十八觚之一面。以半径一 尺乘之,又以二十四乘之,得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除 之,得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四,即九十六觚之幂也。
割四十八觚以为九十六觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置次 上弦幂,四而一,得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽,余分弃之,即句 幂也。以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。
以减半径,余二厘一毫四秒一忽十分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小股。
为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽,余分弃之。开方除 之,得小弦六分五厘四毫三秒八忽,余分弃之,即九十六觚之一面。以半径一尺 乘之,又以四十八乘之,得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽,以百亿除之, 得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四,即一百九十二觚之幂也。以九十六 觚之幂减之,余六百二十五分寸之一百五,谓之差幂。倍之,为分寸之二百一十, 即九十六觚之外弧田九十六所,谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂, 得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九,则出圆之表矣。故还就一百九十 二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂,倍之, 得六尺二寸八分,即周数。令径自乘为方幂四百寸,与圆幂相折,圆幂得一百五 十七为率,方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。
案:弧田图令方中容圆,圆中容方,内方合外方之半。然则圆幂一百五十七,其 中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约,周得一百五十七,径得五 十,则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛,其铭曰:律 嘉量斛,内方尺而圆其外,庣旁九厘五毫,幂一百六十二寸,深一尺,积一千六 百二十寸,容十斗。以此术求之,得幂一百六十一寸有奇,其数相近矣。此术微 少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息,当取此 分寸之三十六,以增于一百九十二觚之幂,以为圆幂,三百一十四寸二十五分寸 之四。置径自乘之方幂四百寸,令与圆幂通相约,圆幂三千九百二十七,方幂得 五千,是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七;圆幂三千九百二十七中容方 幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四,倍之,得六尺 二寸八分二十五分分之八,即周数也。全径二尺与周数通相约,径得一千二百五 十,周得三千九百二十七,即其相与之率。若此者,盖尽其纤微矣。举而用之, 上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面,得三千七十二觚之幂,而裁其微分, 数亦宜然,重其验耳。
淳风等案:旧术求圆,皆以周三径一为率。若用之求圆周之数,则周少径多。
用之求其六觚之田,乃与此率合会耳。何则?假令六觚之田,觚间各一尺为面, 自然从角至角,其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓, 今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚,枚别三面,皆长一尺。攒此六物,悉使 锐头向里,则成六觚之周,角径亦皆一尺。更从觚角外畔,围绕为规,则六觚之 径尽达规矣。当面径短,不至外规。若以径言之,则为规六尺,径二尺,面径皆 一尺。面径股不至外畔,定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。
径一周三,理非精密。盖术从简要,举大纲,略而言之。刘徽特以为疏,遂改张 其率。但周、径相乘,数难契合。徽虽出斯二法,终不能究其纤毫也。祖冲之以 其不精,就中更推其数。今者修撰,捃摭诸家,考其是非,冲之为密。故显之于 徽术之下,冀学者知所裁焉。〕 又术曰:周、径相乘,四而一。
〔此周与上觚同耳。周、径相乘,各当一半。而今周、径两全,故两母相乘 为四,以报除之。于徽术,以五十乘周,一百五十七而一,即径也。以一百五十 七乘径,五十而一,即周也。新术径率犹当微少。据周以求径,则失之长;据径 以求周,则失之短。诸据见径以求幂者,皆失之于微少;据周以求幂者,皆失之 于微多。
淳风等按:依密率,以七乘周,二十二而一,即径;以二十二乘径,七而一, 即周。依术求之,即得。〕 又术曰:径自相乘,三之,四而一。
〔按:圆径自乘为外方,三之,四而一者,是为圆居外方四分之三也。若令 六觚之一面乘半径,其幂即外方四分之一也。因而三之,即亦居外方四分之三也。
是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆,失之于微少。于徽新术,当径自乘,又以一 百五十七乘之,二百而一。
淳风等按:密率,令径自乘,以十一乘之,十四而一,即圆幂也。〕 又术曰:周自相乘,十二而一。
〔六觚之周,其于圆径,三与一也。故六觚之周自相乘为幂,若圆径自乘者 九方。九方凡为十二觚者十有二,故曰十二而一,即十二觚之幂也。今此令周自 乘,非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一,所得又非十二觚之幂也。若 欲以为圆幂,失之于多矣。以六觚之周,十二而一可也。于徽新术,直令圆周自 乘,又以二十五乘之,三百一十四而一,得圆幂。其率:二十五者,周幂也;三 百一十四者,周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分,令自乘,得幂三十九万四千 三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之,得此率。
淳风等按:方面自乘即得其积。圆周求其幂,假率乃通。但此术所求用三、 一为率。圆田正法,半周及半径以相乘。今乃用全周自乘,故须以十二为母。何 者?据全周而求半周,则须以二为法。就全周而求半径,复假六以除之。是二、 六相乘,除周自乘之数。依密率,以七乘之,八十八而一。〕 今有宛田,下周三十步,径十六步。问为田几何?答曰:一百二十步。
又有宛田,下周九十九步,径五十一步。问为田几何?答曰:五亩六十二步 四分步之一。
术曰:以径乘周,四而一。
〔此术不验,故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺,高四尺。四尺为股, 下方之半三尺为句。正面邪为弦,弦五尺也。令句弦相乘,四因之,得六十尺, 即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥,圆锥见幂与方锥见幂,其率犹方幂之与 圆幂也。按:方锥下六尺,则方周二十四尺。以五尺乘而半之,则亦锥之见幂。
故求圆锥之数,折径以乘下周之半,即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹,而与圆锥 同术,则幂失之于少矣。然其术难用,故略举大较,施之大广田也。求圆锥之幂, 犹求圆田之幂也。今用两全相乘,故以四为法,除之,亦如圆田矣。开立圆术说 圆方诸率甚备,可以验此。〕 今有弧田,弦二十步,矢十五步。问为田几何?答曰:一亩九十七步半。
又有弧田,弦七十八步二分步之一,矢十三步九分步之七。问为田几何?答 曰:二亩一百五十五步八十一分步之五十六。
术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。
〔方中之圆,圆里十二觚之幂,合外方之幂四分之三也。中方合外方之半, 则朱青合外方四分之一也。弧田,半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘 矢而半之,则为黄幂,矢自乘而半之,则为二青幂。青、黄相连为弧体,弧体法 当应规。今觚面不至外畔,失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率,俱得十二觚 之幂,亦失之于少也,与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者,益复疏阔。
宜句股锯圆材之术,以弧弦为锯道长,以矢为锯深,而求其径。既知圆径,则弧 可割分也。割之者,半弧田之弦以为股,其矢为句,为之求弦,即小弧之弦也。
以半小弧之弦为句,半圆径为弦,为之求股。以减半径,其余即小弦之矢也。割 之又割,使至极细。但举弦、矢相乘之数,则必近密率矣。然于算数差繁,必欲 有所寻究也。若但度田,取其大数,旧术为约耳。〕 今有环田,中周九十二步,外周一百二十二步,径五步。
〔此欲令与周三径一之率相应,故言径五步也。据中、外周,以徽术言之, 当径四步一百五十七分步之一百二十二也。
淳风等按:依密率,合径四步二十二分步之十七。〕 问为田几何?答曰:二亩五十五步。
〔于徽术,当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。
淳风等按:依密率,为田二亩三十步二十二分步之十五。〕 术曰:并中、外周而半之,以径乘之,为积步。
〔此田截而中之周则为长。并而半之知,亦以盈补虚也。此可令中、外周各 自为圆田,以中圆减外圆,余则环实也。〕 又有环田,中周六十二步四分步之三,外周一百一十三步二分步之一,径十 二步三分步之二。
〔此田环而不通匝,故径十二步三分步之二。若据上周求径者,此径失之于 多,过周三径一之率,盖为疏矣。于徽术,当径八步六百二十八分步之五十一。
淳风等按:依周三径一考之,合径八步二十四分步之一十一。依密率,合径 八步一百七十六分步之一十三。〕 问为田几何?答曰:四亩一百五十六步四分步之一。
〔于徽术,当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周 三径一,为田三亩二十五步六十四分步之二十五。
淳风等按:密率,为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕 术曰:置中、外周步数,分母子各居其下。母互乘子,通全步内分子。以中 周减外周,余半之,以益中周。径亦通分内子,以乘周为实。分母相乘为法。除 之为积步。余,积步之分。以亩法除之,即亩数也。
〔按:此术,并中、外周步数于上,分母子于下,母互乘子者,为中外周俱 有余分,故以互乘齐其子,母相乘同其母。子齐母同,故通全步,内分子。半之 知,以盈补虚,得中平之周。周则为从,径则为广,故广从相乘而得其积。既合 分母,还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之,即得积步。不尽,以等数 除之而命分。以亩法除积步,得亩数也。〕
○粟米(以御交 质变易) 粟米之法 〔凡此诸率相与大通,其时相求,各如本率。可约者约之。别术然也。〕 粟率五十大抃五十四稻六十 粝米三十粝饭七十五豉六十三 粺米二十七粺饭五十四飧九十 米二十四饭四十八熟菽一百三半 御米二十一御饭四十二糵一百七十五 小<麦啇>十三半菽荅麻麦各四十五 今有 〔此都术也。凡九数以为篇名,可以广施诸率。所谓告往而知来,举一隅而 三隅反者也。诚能分诡数之纷杂,通彼此之否塞,因物成率,审辨名分,平其偏 颇,齐其参差,则终无不归于此术也。〕 术曰:以所有数乘所求率为实。以所有率为法。
〔少者多之始,一者数之母,故为率者必等之于一。据粟率五、粝率三,是 粟五而为一,粝米三而为一也。欲化粟为米者,粟当先本是一。一者,谓以五约 之,令五而为一也。讫,乃以三乘之,令一而为三。如是,则率至于一,以五为 三矣。然先除后乘,或有余分,故术反之。又完言之知,粟五升为粝米三升;以 分言之知,粟一斗为粝米五分斗之三,以五为母,三为子。以粟求粝米者,以子 乘,其母报除也。然则所求之率常为母也。
淳风等按:“宜云所求之率常为子,所有之率常为母。”今乃云“所求之率 常为母”知,脱错也。〕 实如法而一。
今有粟一斗,欲为粝米。问得几何?答曰:为粝米六升。
术曰:以粟求粝米,三之,五而一。
〔淳风等按:都术:以所求率乘所有数,以所有率为法。此术以粟求米,故 粟为所有数。三是米率,故三为所求率。五为粟率,故五为所有率。粟率五十, 米率三十,退位求之,故惟云三、五也。〕 今有粟二斗一升,欲为粺米。问得几何?答曰:为粺米一斗一升五十分 升之十七。
术曰:以粟求粺米,二十七之,五十而一。
〔淳风等按:粺米之率二十有七,故直以二十七之,五十而一也。〕 今有粟四斗五升,欲为米。问得几何?答曰:为米二斗一升五 分升之三。
术曰:以粟求米,十二之,二十五而一。
〔淳风等按:米之率二十有四,以为率太繁,故因而半之。半所求之 率,以乘所有之数。所求之率既减半,所有之率亦减半。是故十二乘之,二十五 而一也。〕 今有粟七斗九升,欲为御米。问得几何?答曰:为御米三斗三升五十分升之 九。
术曰:以粟求御米,二十一之,五十而一。
今有粟一斗,欲为小<麦啇>。问得几何?答曰:为小<麦啇>二升一十分升之 七。
术曰:以粟求小<麦啇>,二十七之,百而一。
〔淳风等按:小<麦啇>之率十三有半。半者二为母,以二通之,得二十七, 为所求率。又以母二通其粟率,得一百,为所有率。凡本率有分者,须即乘除也。
他皆仿此。〕 今有粟九斗八升,欲为大<麦啇>。问得几何?答曰:为大<麦啇>一十斗五升 二十五分升之二十一。
术曰:以粟求大<麦啇>,二十七之,二十五而一。
〔淳风等按:大<麦啇>之率五十有四。因其可半,故二十七之,亦如粟求 米,半其二率。〕 今有粟二斗三升,欲为粝饭。问得几何?答曰:为粝饭三斗四升半。
术曰:以粟求粝饭,三之,二而一。
〔淳风等按:粝饭之率七十有五,粟求粝饭,合以此数乘之。今以等数二十 有五约其二率,所求之率得三,所有之率得二,故以三乘二除。〕 今有粟三斗六升,欲为粺饭。问得几何?答曰:为粺饭三斗八升二十五 分升之二十二。
术曰:以粟求粺饭,二十七之,二十五而一。
〔淳风等按:此术与大<麦啇>多同。〕 今有粟八斗六升,欲为饭。问得几何?答曰:为饭八斗二升二 十五分升之一十四。
术曰:以粟求饭,二十四之,二十五而一。
〔淳风等按:<麦啇>饭率四十八。此亦半二率而乘除。〕 今有粟九斗八升,欲为御饭。问得几何?答曰:为御饭八斗二升二十五分升 之八。
术曰:以粟求御饭,二十一之,二十五而一。
〔淳风等按:此术半率,亦与饭多同。〕 今有粟三斗少半升,欲为菽。问得几何?答曰:为菽二斗七升一十分升之三。
今有粟四斗一升太半升,欲为荅。问得几何?答曰:为荅三斗七升半。
今有粟五斗太半升,欲为麻。问得几何?答曰:为麻四斗五升五分升之三。
今有粟一十斗八升五分升之二,欲为麦。问得几何?答曰:为麦九斗七升二 十五分升之一十四。
术曰:以粟求菽、荅、麻、麦,皆九之,十而一。
〔淳风等按:四术率并四十五,皆是为粟所求,俱合以此率乘其本粟。术欲 从省,先以等数五约之,所求之率得九,所有之率得十,故九乘十除,义由于此。〕 今有粟七斗五升七分升之四,欲为稻。问得几何?答曰:为稻九斗三十五分 升之二十四。
术曰:以粟求稻,六之,五而一。
〔淳风等按:稻率六十,亦约二率而乘除。〕 今有粟七斗八升,欲为豉。问得几何?答曰:为豉九斗八升二十五分升之七。
术曰:以粟求豉,六十三之,五十而一。
今有粟五斗五升,欲为飧。问得几何?答曰:为飧九斗九升。
术曰:以粟求飧,九之,五而一。
〔淳风等按:飧率九十,退位,与求稻多同。〕 今有粟四斗,欲为熟菽。问得几何?答曰:为熟菽八斗二升五分升之四。
术曰:以粟求熟菽,二百七之,百而一。
〔淳风等按:熟菽之率一百三半。半者,其母二,故以母二通之。所求之率 既被二乘,所有之率随而俱长,故以二百七之,百而一。〕 今有粟二斗,欲为糵。问得几何?答曰:为糵七斗。
术曰:以粟求糵,七之,二而一。
〔淳风等按:糵率一百七十有五,合以此数乘其本粟。术欲从省,先以等数 二十五约之,所求之率得七,所有之率得二,故七乘二除。〕 今有粝米十五斗五升五分升之二,欲为粟。问得几何?答曰:为粟二十五斗 九升。
术曰:以粝米求粟,五之,三而一。
〔淳风等按:上术以粟求米,故粟为所有数,三为所求率,五为所有率。今 此以米求粟,故米为所有数,五为所求率,三为所有率。准都术求之,各合其数。
以下所有反求多同,皆准此。〕 今有粺米二斗,欲为粟。问得几何?答曰:为粟三斗七升二十七分升之一。
术曰:以粺米求粟,五十之,二十七而一。
今有米三斗少半升,欲为粟。问得几何?答曰:为粟六斗三升三十六 分升之七。
术曰:以米求粟,二十五之,十二而一。
今有御米十四斗,欲为粟。问得几何?答曰:为粟三十三斗三升少半升。
术曰:以御米求粟,五十之,二十一而一。
今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四,欲为粟。问得几何?答曰:为粟 一十斗五升九分升之七。
术曰:以稻求粟,五之,六而一。
今有粝米一十九斗二升七分升之一,欲为粺米。问得几何?答曰:为粺 米一十七斗二升一十四分升之一十三。
术曰:以粝米求粺米,九之,十而一。
〔淳风等按:粺米率二十七,合以此数乘粝米。术欲从省,先以等数三约 之,所求之率得九,所有之率得十,故九乘而十除。〕 今有粝米六斗四升五分升之三,欲为粝饭。问得几何?答曰:为粝饭一十六 斗一升半。
术曰:以粝米求粝饭,五之,二而一。
〔淳风等按:粝饭之率七十有五,宜以本粝米乘此率数。术欲从省,先以等 数十五约之,所求之率得五,所有之率得二,故五乘二除,义由于此。〕 今有粝饭七斗六升七分升之四,欲为飧。问得几何?答曰:为飧九斗一升三 十五分升之三十一。
术曰:以粝饭求飧,六之,五而一。
〔淳风等按:飧率九十,为粝饭所求,宜以粝饭乘此率。术欲从省,先以等 数十五约之,所求之率得六,所有之率得五。以此,故六乘五除也。〕 今有菽一斗,欲为熟菽。问得几何?答曰:为熟菽二斗三升。
术曰:以菽求熟菽,二十三之,十而一。
〔淳风等按:熟菽之率一百三半。因其有半,各以母二通之,宜以菽数乘此 率。术欲从省,先以等数九约之,所求之率得一十一半,所有之率得五也。〕 今有菽二斗,欲为豉。问得几何?答曰:为豉二斗八升。
术曰:以菽求豉,七之,五而一。
〔淳风等按:豉率六十三,为菽所求,宜以菽乘此率。术欲从省,先以等数 九约之,所求之率得七,而所有之率得五也。〕 今有麦八斗六升七分升之三,欲为小<麦啇>。问得几何?答曰:为小<麦啇> 二斗五升一十四分升之一十三。
术曰:以麦求小<麦啇>,三之,十而一。
〔淳风等按:小<麦啇>之率十三半,宜以母二通之,以乘本麦之数。术欲从 省,先以等数九约之,所求之率得三,所有之率得十也。〕 今有麦一斗,欲为大<麦啇>。问得几何?答曰:为大抃一斗二升。
术曰:以麦求大<麦啇>,六之,五而一。
〔淳风等按:大<麦啇>之率五十有四,合以麦数乘此率。术欲从省,先以等 数九约之,所求之率得六,所有之率得五也。〕 今有出钱一百六十,买瓴甓十八枚。
〔瓴甓,砖也。〕 问枚几何?答曰:一枚八钱九分钱之八。
今有出钱一万三千五百,买竹二千三百五十个。问个几何?答曰:一个,五 钱四十七分钱之三十五。
经率术曰:以所买率为法,所出钱数为实,实如法得一。
〔此术犹经分。
淳风等按:今有之义,以所求率乘所有数,合以瓴甓一枚乘钱一百六十为实。
但以一乘不长,故不复乘,是以径将所买之率与所出之钱为法、实也。又按:此 今有之义。出钱为所有数,一枚为所求率,所买为所有率,而今有之,即得所求 数。一乘不长,故不复乘,是以径将所买之率为法,以所出之钱为实,实如法得 一枚钱。不尽者,等数而命分。〕 今有出钱五千七百八十五,买漆一斛六斗七升太半升。欲斗率之,问斗几何? 答曰:一斗,三百四十五钱五百三分钱之一十五。
今有出钱七百二十,买缣一匹二丈一尺。欲丈率之,问丈几何?答曰:一丈, 一百一十八钱六十一分钱之二。
今有出钱二千三百七十,买布九匹二丈七尺。欲匹率之,问匹几何?答曰: 一匹,二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四。
今有出钱一万三千六百七十,买丝一石二钧一十七斤。欲石率之,问石几何? 答曰:一石,八千三百二十六钱一百九十七分钱之百七十八。
术曰:以求所率乘钱数为实,以所买率为法,实如法得一。
〔淳风等按:今有之义,钱为所求率,物为所有数,故以乘钱,又以分母乘 之为实。实如法而一,有分者通之。所买通分内子为所有率,故以为法。得钱数 不尽而命分者,因法为母,实余为子。实见不满,故以命之。〕 今有出钱五百七十六,买竹七十八个。欲其大小率之,问各几何?答曰:其 四十八个,个七钱;其三十个,个八钱。
今有出钱一千一百二十,买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之,问各几何? 答曰:其二钧八斤,斤五钱;其一石一十斤,斤六钱。
今有出钱一万三千九百七十,买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石 率之,问各几何?答曰:其一钧九两一十二铢,石八千五十一钱;其一石一钧二 十七斤九两一十七铢,石八千五十二钱。
今有出钱一万三千九百七十,买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧 率之,问各几何?答曰:其七斤一十两九铢,钧二千一十二钱;其一石二钧二十 斤八两二十铢,钧二千一十三钱。
今有出钱一万三千九百七十,买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤 率之,问各几何?答曰:其一石二钧七斤十两四铢,斤六十七钱;其二十斤九两 一铢,斤六十八钱。
今有出钱一万三千九百七十,买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两 率之,问各几何?答曰:其一石一钧一十七斤一十四两一铢,两四钱;其一钧一 十斤五两四铢,两五钱。
其率术曰:各置所买石、钧、斤、两以为法,以所率乘钱数为实,实如法 而一。不满法者,反以实减法。法贱实贵。其求石、钧、斤、两,以积铢各除法、 实,各得其积数,余各为铢。
〔其率知,欲令无分。按:出钱五百七十六,买竹七十八个,以除钱,得七, 实余三十,是为三十个复可增一钱。然则实余之数即是贵者之数,故曰实贵也。
本以七十八个为法,今以贵者减之,则其余悉是贱者之数。故曰法贱也。其求石、 钧、斤、两,以积铢各除法、实,各得其积数,余各为铢者,谓石、钧、斤、两 积铢除实,又以石、钧、斤、两积铢除法,余各为铢,即合所问。〕 今有出钱一万三千九百七十,买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢 率之,问各几何?答曰:其一钧二十斤六两十一铢,五铢一钱;其一石一钧七斤 一十二两一十八铢,六铢一钱。
今有出钱六百二十,买羽二千一百翭。
〔翭,羽本也。数羽称其本,犹数草木称其根株。〕 欲其贵贱率之,问各几何?答曰:其一千一百四十翭,三翭一钱; 其九百六十翭,四翭钱。
今有出钱九百八十,买矢榦五千八百二十枚。欲其贵贱率之,问各几何?答 曰:其三百枚,五枚一钱;其五千五百二十枚,六枚一钱。
反其率术曰:以钱数为法,所率为实,实如法而一。不满法者,反以实减 法。法少实多。二物各以所得多少之数乘法、实,即物数。
〔按:其率:出钱六百二十,买羽二千一百翭。反之,当二百四十钱, 一钱翭;其三百八十钱,一钱三翭。是钱有二价,物有贵贱。故以羽乘 钱,反其率也。
淳风等按:其率者,钱多物少;反其率知,钱少物多;多少相反,故曰反其 率也。其率者,以物数为法,钱数为实。反之知,以钱数为法,物数为实。不满 法知,实余也。当以余物化为钱矣。法为凡钱,而今以化钱减之,故以实减法。
法少知,经分之所得,故曰法少;实多者,余分之所益,故曰实多。乘实宜以多, 乘法宜以少,故曰各以其所得多少之数乘法、实,即物数。〕
○衰分(以御贵贱禀税) 衰分 〔衰分,差也。〕 术曰:各置列衰; 〔列衰,相与率也。重叠,则可约。〕 副并为法,以所分乘未并者,各自为实。实如法而一。
〔法集而衰别。数,本一也。今以所分乘上别,以下集除之,一乘一除,适 足相消,故所分犹存,且各应率而别也。于今有术,列衰各为所求率,副并为所 有率,所分为所有数。又以经分言之,假令甲家三人,乙家二人,丙家一人,并 六人,共分十二,为人得二也。欲复作逐家者,则当列置人数,以一人所得乘之。
今此术先乘而后除也。〕 不满法者,以法命之。
今有大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿。欲以爵次分之, 问各得几何?答曰:大夫得一鹿三分鹿之二;不更得一鹿三分鹿之一;簪袅得一 鹿;上造得三分鹿之二;公士得三分鹿之一。
术曰:列置爵数,各自为衰。
〔爵数者,谓大夫五,不更四,簪袅三,上造二,公士一也。《墨子·号令 篇》以爵级为赐,然则战国之初有此名也。〕 副并为法。以五鹿乘未并者各自为实。实如法得一鹿。
〔今有术,列衰各为所求率,副并为所有率,今有鹿数为所有数,而今有之, 即得。〕 今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰:“我羊食半马。”马主 曰:“我马食半牛。”今欲衰偿之,问各出几何?答曰:牛主出二斗八升七分升 之四;马主出一斗四升七分升之二;羊主出七升七分升之一。
术曰:置牛四、马二、羊一,各自为列衰,副并为法。以五斗乘未并者各自 为实。实如法得一斗。
〔淳风等按:此术问意,羊食半马,马食半牛,是谓四羊当一牛,二羊当一 马。今术置羊一、马二、牛四者,通其率以为列衰。〕 今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关, 关税百钱。欲以钱数多少衰出之,问各几何?答曰:甲出五十一钱一百九分钱之 四十一;乙出三十二钱一百九分钱之一十二;丙出一十六钱一百九分钱之五十六。
术曰:各置钱数为列衰,副并为法。以百钱乘未并者,各自为实。实如法得 一钱。
〔淳风等按:此术甲、乙、丙持钱数以为列衰,副并为所有率,未并者各为 所求率,百钱为所有数,而今有之,即得。〕 今有女子善织,日自倍,五日织五尺。问日织几何?答曰:初日织一寸三十 一分寸之十九;次日织三寸三十一分寸之七;次日织六寸三十一分寸之十四;次 日织一尺二寸三十一分寸之二十八;次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。
术曰:置一、二、四、八、十六为列衰,副并为法。以五尺乘未并者,各自 为实。实如法得一尺。
今有北乡算八千七百五十八,西乡算七千二百三十六,南乡算八千三百五十 六。凡三乡发徭三百七十八人。欲以算数多少衰出之,问各几何?答曰:北乡遣 一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七;西乡遣一百一十 二人一万二千一百七十五分人之四千四;南乡遣一百二十九人一万二千一百七十 五分人之八千七百九。
术曰:各置算数为列衰, 〔淳风等按:三乡算数,约,可半者,为列衰。〕 副并为法。以所发徭人数乘未并者,各自为实。实如法得一人。
〔按:此术,今有之义也。〕 今有禀粟,大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,一十五斗。今有大夫 一人后来,亦当禀五斗。仓无粟,欲以衰出之,问各几何?答曰:大夫出一斗四 分斗之一;不更出一斗;簪袅出四分斗之三;上造出四分斗之二;公士出四分斗 之一。
术曰:各置所禀粟斛,斗数、爵次均之,以为列衰。副并而加后来大夫亦五 斗,得二十以为法。以五斗乘未并者,各自为实。实如法得一斗。
〔禀前五人十五斗者,大夫得五斗,不更得四斗,簪袅得三斗,上造得二斗, 公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫,即与前来大夫同。据前来 大夫已得五斗,故言亦也。各以所得斗数为衰,并得十五,而加后来大夫亦五斗, 凡二十,为法也。是为六人共出五斗,后来大夫亦俱损折。今有术,副并为所有 率,未并者各为所求率,五斗为所有数,而今有之,即得。〕 今有禀粟五斛,五人分之。欲令三人得三,二人得二,问各几何?答曰:三 人,人得一斛一斗五升十三分升之五;二人,人得七斗六升十三分升之十二。
术曰:置三人,人三;二人,人二,为列衰。副并为法。以五斛乘未并者各 自为实。实如法得一斛。
反衰术曰:列置衰而令相乘,动者为不动者衰。
今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人,共出百钱。欲令高爵出少,以 次渐多,问各几何?答曰:大夫出八钱一百三十七分钱之一百四;不更出一十钱 一百三十七分钱之一百三十;簪袅出一十四钱一百三十七分钱之八十二;上造出 二十一钱一百三十七分钱之一百二十三;公士出四十三钱一百三十七分钱之一百 九。
术曰:置爵数,各自为衰,而反衰之。副并为法。以百钱乘未并者,各自为 实。实如法得一钱。
〔以爵次言之,大夫五、不更四。欲令高爵得多者,当使大夫一人受五分, 不更一人受四分。人数为母,分数为子。母同则子齐,齐即衰也。故上衰分宜以 五、四为列焉。今此令高爵出少,则当大夫五人共出一人分,不更四人共出一人 分,故谓之反衰。人数不同,则分数不齐。当令母互乘子。母互乘子,则动者为 不动者衰也。亦可先同其母,各以分母约,其子为反衰。副并为法。以所分乘未 并者,各自为实。实如法而一。〕 今有甲持粟三升,乙持粝米三升,丙持粝饭三升。欲令合而分之,问各几何? 答曰:甲二升一十分升之七;乙四升一十分升之五;丙一升一十分升之八。
术曰:以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰,而反衰之。副并为法。
以九升乘未并者,各自为实。实如法得一升。
〔按:此术,三人所持升数虽等,论其本率,精粗不同。米率虽少,令最得 多;饭率虽多,反使得少。故令反之,使精得多而粗得少。于今有术,副并为所 有率,未并者各为所求率,九升为所有数,而今有之,即得。〕 今有丝一斤,价直二百四十。今有钱一千三百二十八,问得丝几何?答曰: 五斤八两一十二铢五分铢之四。
术曰:以一斤价数为法,以一斤乘今有钱数为实。实如法得丝数。
〔按:此术今有之义,以一斤价为所有率,一斤为所求率,今有钱为所有数, 而今有之,即得。〕 今有丝一斤,价直三百四十五。今有丝七两一十二铢,问得钱几何?答曰: 一百六十一钱三十二分钱之二十三。
术曰:以一斤铢数为法,以一斤价数乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。
〔淳风等按:此术亦今有之义。以丝一斤铢数为所有率,价钱为所求率,今 有丝为所有数,而今有之,即得。〕 今有缣一丈,价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸,问得钱几何?答曰: 六百三十三钱五分钱之三。
术曰:以一丈寸数为法,以价钱数乘今有缣寸数为实。实如法得钱数。
〔淳风等按:此术亦今有之义。以缣一丈寸数为所有率,价钱为所求率,今 有缣寸数为所有数,而今有之,即得。〕 今有布一匹,价直一百二十五。今有布二丈七尺,问得钱几何?答曰:八十 四钱八分钱之三。
术曰:以一匹尺数为法,今有布尺数乘价钱为实。实如法得钱数。
〔淳风等按:此术亦今有之义。以一匹尺数为所有率,价钱为所求率,今有 布为所有数,今有之,即得。〕 今有素一匹一丈,价直六百二十五。今有钱五百,问得素几何?答曰:得素 一匹。
术曰:以价直为法,以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。
〔淳风等按:此术亦今有之义。以价钱为所有率,五丈尺数为所求率,今有 钱为所有数,今有之,即得。〕 今有与人丝一十四斤,约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两,问得缣几何? 答曰:三十二斤八两。
术曰:以一十四斤两数为法,以一十斤乘今有丝两数为实。实如法得缣数。
〔淳风等按:此术亦今有之义。以一十四斤两数为所有率,一十斤为所求率, 今有丝为所有数,而今有之,即得。〕 今有丝一斤,耗七两。今有丝二十三斤五两,问耗几何?答曰:一百六十三 两四铢半。
术曰:以一斤展十六两为法。以七两乘今有丝两数为实。实如法得耗数。
〔淳风等按:此术亦今有之义。以一斤为十六两为所有率,七两为所求率, 今有丝为所有数,而今有之,即得。〕 今有生丝三十斤,干之,耗三斤十二两。今有干丝一十二斤,问生丝几何? 答曰:一十三斤一十一两十铢七分铢之二。
术曰:置生丝两数,除耗数,余,以为法。
〔馀四百二十两,即干丝率。〕 三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。
〔凡所得率,如细则俱细,粗则俱粗,两数相抱而已。故品物不同,如上缣、 丝之比,相与率焉。三十斤凡四百八十两,今生丝率四百八十两,今干丝率四百 二十两,则其数相通。可俱为铢,可俱为两,可俱为斤,,无所归滞也。若然, 宜以所有干丝斤数乘生丝两数为实。今以斤、两错互而亦同归者,使干丝以两数 为率,生丝以斤数为率,譬之异类,亦各有一定之势。
淳风等按:此术,置生丝两数,除耗数,余即干丝之率,于今有术为所有率; 三十斤为所求率,干丝两数为所有数。凡所为率者,细则俱细,粗则俱粗。今有 一斤乘两知,干丝即以两数为率,生丝即以斤数为率,譬之异物,各有一定之率 也。〕 今有田一亩,收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步,问收粟 几何?答曰:八斛四斗四升一十二分升之五。
术曰:以亩二百四十步为法。以六升太半升乘今有田积步为实。实如法得粟 数。
〔淳风等按:此术亦今有之义。以一亩步数为所有率,六升太半升为所求率, 今有田积步为所有数,而今有之,即得。〕 今有取保,一岁价钱二千五百。今先取一千二百,问当作日几何?答曰:一 百六十九日二十五分日之二十三。
术曰:以价钱为法,以一岁三百五十四日乘先取钱数为实。实如法得日数。
〔淳风等按:此术亦今有之义。以价为所有率,一岁日数为所求率,取钱为 所有数,而今有之,即得。〕 今有贷人千钱,月息三十。今有贷人七百五十钱,九日归之,问息几何?答 曰:六钱四分钱之三。
术曰:以月三十日乘千钱为法。
〔以三十日乘千钱为法者,得三万,是为贷人钱三万,一日息三十也。〕 以息三十乘今所贷钱数,又以九日乘之,为实。实如法得一钱。
〔以九日乘今所贷钱为今一日所有钱,于今有术为所有数,息三十为所求率; 三万钱为所有率。此又可以一月三十日约息三十钱,为十分一日,以乘今一日所 有钱为实;千钱为法。为率者,当等之于一也。故三十日或可乘本,或可约息, 皆所以等之也。〕
○少广(以御积幂方圆) 少广 〔淳风等按:一亩之田,广一步,长二百四十步。今欲截取其从少,以益其 广,故曰少广。〕 术曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步, 〔淳风等按:以分母乘全步者,通其分也;以母乘子者,齐其子也。〕 各以其母除其子,置之于左,命通分者,又以分母遍乘诸分子及已通者,皆 通而同之。并之为法。
〔淳风等按:诸子悉通,故可并之为法。亦宜用合分术,列数尤多,若用乘 则算数至繁,故别制此术,从省约。〕 置所求步数,以全步积分乘之为实。
〔此以田广为法,以亩积步为实。法有分者,当同其母,齐其子,以同乘法 实,而并齐于法。今以分母乘全步及子,子如母而一,并以并全法,则法实俱长, 意亦等也。故如法而一,得从步数。〕 实如法而一,得从步。
今有田广一步半。求田一亩,问从几何?答曰:一百六十步。
术曰:下有半,是二分之一。以一为二,半为一,并之,得三,为法。置田 二百四十步,亦以一为二乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:一百三十步一 十一分步之一十。
术曰:下有三分,以一为六,半为三,三分之一为二,并之,得一十一,为 法。置田二百四十步,亦以一为六乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩,问从几何?答曰: 一百一十五步五分步之一。
术曰:下有四分,以一为一十二,半为六,三分之一为四,四分之一为三, 并之,得二十五,以为法。置田二百四十步,亦以一为一十二乘之,为实。实如 法而一,得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩,问从 几何?答曰:一百五步一百三十七分步之一十五。
术曰:下有五分,以一为六十,半为三十,三分之一为二十,四分之一为一 十五,五分之一为一十二,并之,得一百三十七,以为法。置田二百四十步,亦 以一为六十乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求 田一亩,问从几何?答曰:九十七步四十九分步之四十七。
术曰:下有六分,以一为一百二十,半为六十,三分之一为四十,四分之一 为三十,五分之一为二十四,六分之一为二十,并之,得二百九十四,以为法。
置田二百四十步,亦以一为一百二十乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:九十二步一百二十一分步之六十八。
术曰:下有七分,以一为四百二十,半为二百一十,三分之一为一百四十, 四分之一为一百五,五分之一为八十四,六分之一为七十,七分之一为六十,并 之,得一千八十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为四百二十乘之,为实。
实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十八步七百六十一分步 之二百三十二。
术曰:下有八分,以一为八百四十,半为四百二十,三分之一为二百八十, 四分之一为二百一十,五分之一为一百六十八,六分之一为一百四十,七分之一 为一百二十,八分之一为一百五,并之,得二千二百八十三,以为法。置田二百 四十步,亦以一为八百四十乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十四步七 千一百二十九分步之五千九百六十四。
术曰:下有九分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为八 百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七分 之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,并之,得七千 一百二十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为二千五百二十乘之,为实。实 如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩、问从几何?答曰: 八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。
术曰:下有一十分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为 八百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七 分之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,十分之一为 二百五十二,并之,得七千三百八十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二 千五百二十乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩, 问从几何?答曰:七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。
术曰:下有一十一分,以一为二万七千七百二十,半为一万三千八百六十, 三分之一为九千二百四十,四分之一为六千九百三十,五分之一为五千五百四十 四,六分之一为四千六百二十,七分之一为三千九百六十,八分之一为三千四百 六十五,九分之一为三千八十,一十分之一为二千七百七十二,一十一分之一为 二千五百二十,并之,得八万三千七百一十一,以为法。置田二百四十步,亦以 一为二万七千七百二十乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一,五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之 一。求田一亩,问从几何?答曰:七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百 八十三。
术曰:下有一十二分,以一为八万三千一百六十,半为四万一千五百八十, 三分之一为二万七千七百二十,四分之一为二万七百九十,五分之一为一万六千 六百三十二,六分之一为一万三千八百六十,七分之一为一万一千八百八十,八 分之一为一万三百九十五,九分之一为九千二百四十,一十分之一为八千三百一 十六,十一分之一为七千五百六十,十二分之一为六千九百三十,并之,得二十 五万八千六十三,以为法。置田二百四十步,亦以一为八万三千一百六十乘之, 为实。实如法得从步。
〔淳风等按:凡为术之意,约省为善。宜云“下有一十二分,以一为二万七 千七百二十,半为一万三千八百六十,三分之一为九千二百四十,四分之一为六 千九百三十,五分之一为五千五百四十四,六分之一为四千六百二十,七分之一 为三千九百六十,八分之一为三千四百六十五,九分之一为三千八十,十分之一 为二千七百七十二,十一分之一为二千五百二十,十二分之一为二千三百一十, 并之,得八万六千二十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二万七千七百二 十乘之,以为实。实如法得从步。”其术亦得知,不繁也。〕 今有积五万五千二百二十五步,问为方几何?答曰:二百三十五步。
又有积二万五千二百八十一步,问为方几何?答曰:一百五十九步。
又有积七万一千八百二十四步,问为方几何?答曰:二百六十八步。
又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一,问为方几何?答曰:七百五 十一步半。
又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步,问为方几何?答曰:六万 三千二十五步。
○开方 〔求方幂之一面也。〕 术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。
〔言百之面十也。言万之面百也。〕 议所得,以一乘所借一算为法,而以除。
〔先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。〕 除已,倍法为定法。
〔倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,故曰定法。〕 其复除,折法而下。
〔欲除朱幂者,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘,而以除。
如是当复步之而止,乃得相命。故使就上折下。〕 复置借算,步之如初。以复议一乘之, 〔欲除朱幂之角黄乙之幂,其意如初之所得也。〕 所得副以加定法,以除。以所得副从定法。
〔再以黄乙之面加定法者,是则张两青幂之袤。〕 复除,折下如前。若开之不尽者,为不可开,当以面命之。
〔术或有以借算加定法而命分者,虽粗相近,不可用也。凡开积为方,方之 自乘当还复有积分。令不加借算而命分,则常微少;其加借算而命分,则又微多。
其数不可得而定。故惟以面命之,为不失耳。譬犹以三除十,以其余为三分之一, 而复其数可以举。不以面命之,加定法如前,求其微数。微数无名者以为分子, 其一退以十为母,其再退以百为母。退之弥下,其分弥细,则朱幂虽有所弃之数, 不足言之也。〕 若实有分者,通分内子为定实,乃开之。讫,开其母,报除。
〔淳风等按:分母可开者,并通之积先合二母。既开之后,一母尚存,故开 分母,求一母为法,以报除也。〕 若母不可开者,又以母乘定实,乃开之。讫,令如母而一。
〔淳风等按:分母不可开者,本一母也。又以母乘之,乃合二母。既开之后, 亦一母存焉,故令一母而一,得全面也。
又按:此术“开方”者,求方幂之面也。借一算者,假借一算,空有列位之 名,而无除积之实。方隅得面,是故借算列之于下。“步之超一等”者,方十自 乘,其积有百,方百自乘,其积有万,故超位,至百而言十,至万而言百。“议 所得,以一乘所借算为法,而以除”者,先得黄甲之面,以方为积者两相乘,故 开方除之,还令两面上下相命,是自乘而除之。“除已,倍法为定法”者,实积 未尽,当复更除,故豫张两面朱幂袤,以待复除,故曰定法。“其复除,折法而 下”者,欲除朱幂,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘之,而以除, 如是,当复步之而止,乃得相命。故使就上折之而下。“复置借算,步之如初, 以复议一乘之,所得副以加定法,以定法除”者。欲除朱幂之角黄乙之幂。“以 所得副从定法”者,再以黄乙之面加定法,是则张两青幂之袤,故如前开之,即 合所问。〕 今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何?答曰:一百三十五步。
〔于徽术,当周一百三十八步一十分步之一。
淳风等按:此依密率,为周一百三十八步五十分步之九。〕 又有积三百步,问为圆周几何?答曰:六十步。
〔于徽术,当周六十一步五十分步之十九。
淳风等按:依密率,为周六十一步一百分步之四十一。〕 开圆术曰:置积步数,以十二乘之,以开方除之,即得周。
〔此术以周三径一为率,与旧圆田术相返覆也。于徽术,以三百一十四乘积, 如二十五而一,所得,开方除之,即周也。开方除之,即径。是为据见幂以求周, 犹失之于微少。其以二百乘积,一百五十七而一,开方除之,即径,犹失之于微 多。
淳风等按:此注于徽术求周之法,其中不用“开方除之,即径”六字,今 本有者,衍剩也。依密率,八十八乘之,七而一。按周三径一之率,假令周六径 二,半周半径相乘得幂三,周六自乘得三十六。俱以等数除幂,得一周之数十二 也。其积:本周自乘,合以一乘之,十二而一,得积三也。术为一乘不长,故以 十二而一,得此积。今还原,置此积三,以十二乘之者,复其本周自乘之数。凡 物自乘,开方除之,复其本数,故开方除之,即周。〕 今有积一百八十六万八百六十七尺, 〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者,曰立方。〕 问为立方几何?答曰:一百二十三尺。
又有积一千九百五十三尺八分尺之一,问为立方几何?答曰:一十二尺半。
又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,问为立方几何?答 曰:三十九尺八分尺之七。
又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七,问为立方几何? 答曰:一百二十四尺太半尺。
开立方 〔立方适等,求其一面也。〕 术曰:置积为实。借一算,步之,超二等。
〔言千之面十,言百万之面百。〕 议所得,以再乘所借一算为法,而除之。
〔再乘者,亦求为方幂。以上议命而除之,则立方等也。〕 除已,三之为定法。
〔为当复除,故豫张三面,以定方幂为定法也。〕 复除,折而下。
〔复除者,三面方幂以皆自乘之数,须得折、议,定其厚薄尔。开平幂者, 方百之面十;开立幂者,方千之面十。据定法已有成方之幂,故复除当以千为百, 折下一等也。〕 以三乘所得数,置中行。
〔设三廉之定长。〕 复借一算,置下行。
〔欲以为隅方。立方等未有定数,且置一算定其位。〕 步之,中超一,下超二等。
〔上方法,长自乘而一折,中廉法,但有长,故降一等;下隅法,无面长, 故又降一等也。〕 复置议,以一乘中, 〔为三廉备幂也。〕 再乘下, 〔令隅自乘,为方幂也。〕 皆副以加定法。以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有幂,以上议命之而除,去三幂之厚也。〕 除已,倍下,并中,从定法。
〔凡再以中、三以下,加定法者,三廉各当以两面之幂连于两方之面,一隅 连于三廉之端,以待复除也。言不尽意,解此要当以棋,乃得明耳。〕 复除,折下如前。开之不尽者,亦为不可开。
〔术亦有以定法命分者,不如故幂开方,以微数为分也。〕 若积有分者,通分内子为定实。定实乃开之。讫,开其母以报除。
〔淳风等按:分母可开者,并通之积先合三母。既开之后一母尚存,故开分 母,求一母,为法,以报除也。〕 若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一。
〔淳风等按:分母不可开者,本一母也。又以母再乘之,令合三母。既开之 后,一母犹存,故令一母而一,得全面也。
按:“开立方”知,立方适等,求其一面之数。“借一算,步之,超二等” 者,但立方求积,方再自乘,就积开之,故超二等,言千之面十,言百万之面百。
“议所得,以再乘所借算为法,而以除”知,求为方幂,以议命之而除,则立方 等也。“除已,三之为定法”,为积未尽,当复更除,故豫张三面已定方幂为定 法。“复除,折而下”知,三面方幂皆已有自乘之数,须得折、议定其厚薄。据 开平方,百之面十,其开立方,即千之面十。而定法已有成方之幂,故复除之者, 当以千为百,折下一等。“以三乘所得数,置中行”者,设三廉之定长。“复借 一算,置下行”者,欲以为隅方,立方等未有数,且置一算定其位也。“步之, 中超一,下超二”者,上方法长自乘而一折,中廉法但有长,故降一等,下隅法 无面长,故又降一等。“复置议,以一乘中”者,为三廉备幂。“再乘下”,当 令隅自乘为方幂。“皆副以加定法,以定法除者,三面、三廉、一隅皆已有幂, 以上议命之而除,去三幂之厚。“除已,倍下、并中,从定法”者,三廉各当以 两面之幂连于两方之面,一隅连于三廉之端,以待复除。其开之不尽者,折下如 前,开方,即合所问。“有分者,通分内子开之。讫,开其母以报除”,“可开 者,并通之积,先合三母;既开之后,一母尚存,故开分母”者,“求一母为法, 以报除。”“若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一”,分 母不可开者,本一母,又以母再乘,令合三母,既开之后,亦一母尚存。故令如 母而一,得全面也。〕 今有积四千五百尺。
〔亦谓立方之尺也。〕 问为立圆径几何?答曰:二十尺。
〔依密率,立圆径二十尺,计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕 又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几 何?答曰:一万四千三百尺。
〔依密率,为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕 开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得,开立方除之,即立 圆径。
〔立圆,即丸也。为术者,盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三,圆 囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二,为丸率九,丸居圆囷又四分之三也。
置四分自乘得十六,三分自乘得九,故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积, 九而一,得立方之积。丸径与立方等,故开立方而除,得径也。然此意非也。何 以验之?取立方棋八枚,皆令立方一寸,积之为立方二寸。规之为圆囷,径二寸, 高二寸。又复横因之,则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似陽马,圆然也。按:合 盖者,方率也,丸居其中,即圆率也。推此言之,谓夫圆囷为方率,岂不阙哉? 以周三径一为圆率,则圆幂伤少;令圆囷为方率,则丸积伤多,互相通补,是以 九与十六之率偶与实相近,而丸犹伤多耳。观立方之内,合盖之外,虽衰杀有渐, 而多少不掩。判合总结,方圆相缠,浓纤诡互,不可等正。欲陋形措意,惧失正 理。敢不阙疑,以俟能言者。
黄金方寸,重十六两;金丸径寸,重九两,率生于此,未曾验也。《周官· 考工记》:“朅氏为量,改煎金锡则不耗,不耗然后权之,权之然后准之,准之 然后量之。”言炼金使极精,而后分之则可以为率也。令丸径自乘,三而一,开 方除之,即丸中之立方也。假令丸中立方五尺,五尺为句,句自乘幂二十五尺。
倍之得五十尺,以为弦幂,谓平面方五尺之弦也。以此弦为股,亦以五尺为句, 并句股幂得七十五尺,是为大弦幂。开方除之,则大弦可知也。大弦则中立方之 长邪,邪即丸径。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂,三分之一也。今大弦还乘 其幂,即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽,令其幂七十五再自乘之,为面,命 得外立方积,四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘,又以方乘 之,得积一百二十五尺,一百二十五尺自乘,为面,命得积,一万五千六百二十 五尺之面。皆以六百二十五约之,外立方积,六百七十五尺之面,中立方积,二 十五尺之面也。
张衡算又谓立方为质,立圆为浑。衡言质之与中外之浑:六百七十五尺之面, 开方除之,不足一,谓外浑积二十六也;内浑,二十五之面,谓积五尺也。今徽 令质言中浑,浑又言质,则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之 率推以言浑之率也。衡又言:“质,六十四之面;浑,二十五之面。”质复言浑, 谓居质八分之五也。又云:方,八之面;圆,五之面。”圆浑相推,知其复以圆 囷为方率,浑为圆率也,失之远矣。衡说之自然欲协其陰陽奇偶之说而不顾疏密 矣。虽有文辞,斯乱道破义,病也。置外质积二十六,以九乘之,十六而一,得 积十四尺八分尺之五,即质中之浑也。以分母乘全内子,得一百一十七。又置内 质积五,以分母乘之,得四十,是谓质居浑一百一十七分之四十,而浑率犹为伤 多也。假令方二尺,方四面,并得八尺也,谓之方周。其中令圆径与方等,亦二 尺也。圆半径以乘圆周之半,即圆幂也。半方以乘方周之半,即方幂也。然则方 周知,方幂之率也;圆周知,圆幂之率也。按:如衡术,方周率八之面,圆周率 五之面也。令方周六十四尺之面,圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘,得径四 尺之面,是为圆周率十之面,而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非,是故 更著此法,然增周太多,过其实矣。
淳风等按:祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率,丸为圆率,乃设新 法。祖暅之开立圆术曰:“以二乘积,开立方除之,即立圆径。其意何也?取 立方棋一枚,令立枢于左后之下隅,从规去其右上之廉;又合而衡规之,去其前 上之廉。于是立方之棋分而为四,规内棋一,谓之内棋;规外棋三,谓之外棋。
规更合四棋,复横断之。以句股言之,令余高为句,内棋断上方为股,本方之数, 其弦也。句股之法:以句幂减弦幂,则余为股幂。若令余高自乘,减本方之幂, 余即内棋断上方之幂也。本方之幂即此四棋之断上幂。然则余高自乘,即外三棋 之断上幂矣。不问高卑,势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类, 借况以析微。按:陽马方高数参等者,倒而立之,横截去上,则高自乘与断上幂 数亦等焉。夫叠棋成立积,缘幂势既同,则积不容异。由此观之,规之外三棋旁 蹙为一,即一陽马也。三分立方,则陽马居一,内棋居二可知矣。合八小方成一 大方,合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二,则合盖居立方亦三分之二,较 然验矣。置三分之二,以圆幂率三乘之,如方幂率四而一,约而定之,以为丸率。
故曰丸居立方二分之一也。”等数既密,心亦昭晢。张衡放旧,贻哂于后,刘徽 循故,未暇校新。夫岂难哉,抑未之思也。依密率,此立圆积,本以圆径再自乘, 十一乘之,二十一而一,得此积。今欲求其本积,故以二十一乘之,十一而一。
凡物再自乘,开立方除之,复其本数。故立方除之,即丸径也。〕