○商功（以御功程积实） 今有穿地，积一万尺。问为坚、壤各几何？答曰：为坚七千五百尺；为壤一 万二千五百尺。
术曰：穿地四为壤五， 〔壤谓息土。〕 为坚三， 〔坚谓筑土。〕 为墟四。
〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕 以穿地求壤，五之；求坚，三之；皆四而一。
〔今有术也。〕 以壤求穿，四之；求坚，三之；皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之； 皆三而一。
〔淳风等按：此术并今有之义也。重张穿地积一万尺，为所有数，坚率三、 壤率五各为所求率，穿率四为所有率，而今有之，即得。〕 城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。
术曰：并上下广而半之， 〔损广补狭。〕 以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。
〔按：此术“并上下广而半之”者，以盈补虚，得中平之广。“以高若深乘 之”，得一头之立幂。“又以袤乘之”者，得立实之积，故为积尺。〕 今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地 下广几何？答曰：三尺五分尺之三。
术曰：置垣积尺，四之为实。
〔穿地四，为坚三。垣，坚也。以坚求穿地，当四之，三而一也。〕 以深、袤相乘， 〔为深、袤之立实也。〕 又三之，为法。
〔以深、袤乘之立实除垣积，即坑广。又三之者，与坚率并除之。〕 所得，倍之。
〔为坑有两广，先并而半之，即为广狭之中平。今先得其中平，故又倍之知， 两广全也。〕 减上广，余即下广。
〔按：此术穿地四，为坚三。垣即坚也。今以坚求穿地，当四乘之，三而一。
深、袤相乘者，为深袤立幂。以深袤立幂除积，即坑广。又三之，为法，与坚率 并除。所得，倍之者，为坑有两广，先并而半之，为中平之广。今此得中平之广， 故倍之还为两广并。故减上广，余即下广也。〕 今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？答 曰：一百八十九万七千五百尺： 今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？ 答曰：六千七百七十四尺。
今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？答曰： 七千一百一十二尺。
冬程人功四百四十四尺，问用徒几何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。
术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。
今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？答曰：四 千三百七十五尺。
春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。
问用徒几何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。
术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。
〔“去其五分之一”者，谓以四乘，五除也。〕 以沟积尺为实，实如法而一，得用徒人数。
〔按：此术“置本人功，去其五分之一”者，谓以四乘之，五而一，除去出 土之功，取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实 里通之，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数。
不尽者，等数约之而命分也。〕 今有堑，上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。
问积几何？答曰：一万九百四十三尺八寸。
〔八寸者，谓穿地方尺，深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫，弃之。文 欲从易，非其常定也。〕 夏程人功八百七十一尺，并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二 百三十二尺一十五分尺之四。问用徒几何？答曰：四十七人三千四百八十四分人 之四百九。
术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。
以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。
〔按：此术“置本人功，去其出土功五分之一”者，谓以四乘，五除。“又 去沙砾水石作太半”者，一乘，三除，存其少半，取其定功。乃通分内子以为法。
以分母乘堑积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。
不尽者，等数约之而命分也。〕 今有穿渠，上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二 十四尺。问积几何？答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。
秋程人功三百尺，问用徒几何？答曰：三万三千五百八十二人，功内少一十 四尺四寸。
一千人先到，问当受袤几何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。
术曰：以一人功尺数乘先到人数为实。
〔以一千人一日功为实。立实为功。〕 并渠上下广而半之，以深乘之，为法。
〔以渠广深之立实为法。〕 实如法得袤尺。
今有方堡壔， 〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，谓以土拥木也。〕 方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？答曰：三千八百四十尺。
术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。
今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？答曰：二千一百一十二 尺。
〔于徽术，当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。
淳风等按：依密率，积二千一十六尺。〕 术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。
〔此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术当以周自乘，以高乘之，又 以二十五乘之，三百一十四而一。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而 以高乘幂也。
淳风等按：依密率，以七乘之，八十八而一。〕 今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？答曰：一十万一千六 百六十六尺太半尺。
术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。
〔此章有堑堵、陽马，皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品，以效高深之积。
假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面堑堵四， 四角陽马四。上下方相乘为三尺，以高乘之，得积三尺，是为得中央立方一，四 面堑堵各一。下方自乘为九，以高乘之，得积九尺。是为中央立方一、四面堑堵 各二、四角陽马各三也。上方自乘，以高乘之，得积一尺，又为中央立方一。凡 三品棋皆一而为三，故三而一，得积尺。用棋之数：立方三、堑堵陽马各十二， 凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，验矣。为术又可令方差自乘，以 高乘之，三而一，即四陽马也；上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面堑堵 也。并之，以为方亭积数也。〕 今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？答曰：五百二十七尺 九分尺之七。
〔于徽术，当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。
淳风等按：依密率，为积五百三尺三十三分尺之二十六。〕 术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。
〔此术周三径一之义。合以三除上下周，各为上下径。以相乘，又各自乘， 并，以高乘之，三而一，为方亭之积。假令三约上下周俱不尽，还通之，即各为 上下径。令上下径相乘，又各自乘，并，以高乘之，为三方亭之积分。此合分母 三相乘得九，为法，除之。又三而一，得方亭之积。从方亭求圆亭之积，亦犹方 幂中求圆幂。乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积。前求方亭之积，乃以 三而一；今求圆亭之积，亦合三乘之。二母既同，故相准折，惟以方幂四乘分母 九，得三十六，而连除之。于徽术，当上下周相乘，又各自乘，并，以高乘之， 又二十五乘之，九百四十二而一。此方亭四角圆杀，比于方亭，二百分之一百五 十七。为术之意，先作方亭，三而一。则此据上下径为之者，当又以一百五十七 乘之，六百而一也。今据周为之，若于圆堡昪，又以二十五乘之，三百一十四而 一，则先得三圆亭矣。故以三百一十四为九百四十二而一，并除之。
淳风等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。〕 今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？答曰：七千四十七尺。
术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。
〔按：此术假令方锥下方二尺，高一尺，即四陽马。如术为之，用十二陽马 成三方锥。故三而一，得方锥也。〕 今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几何？答曰：一千七百三十五 尺一十二分尺之五。
〔于徽术，当积一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。
淳风等按：依密率，为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。〕 术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。
〔按：此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方令自乘，以高乘之，令三而一， 得大方锥之积。大锥方之积合十二圆矣。今求一圆，复合十二除之，故令三乘十 二，得三十六，而连除。于徽术，当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九 百四十二而一。圆锥比于方锥亦二百分之一百五十七。令径自乘者，亦当以一百 五十七乘之，六百而一。其说如圆亭也。
淳风等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。〕 今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？答曰：四 万六千五百尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。
〔邪解立方，得两堑堵。虽复橢方，亦为堑堵。故二而一。此则合所规棋。
推其物体，盖为堑上叠也。其形如城，而无上广，与所规棋形异而同实。未闻所 以名之为堑堵之说也。〕 今有陽马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？答曰：九十三尺少半尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。
〔按：此术陽马之形，方锥一隅也。今谓四柱屋隅为陽马。假令广袤各一尺， 高一尺，相乘，得立方积一尺。邪解立方，得两堑堵；邪解堑堵，其一为陽马， 一为鳖臑。陽马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一陽马，合三陽马而 成一立方，故三而一。验之以棋，其形露矣。悉割陽马，凡为六鳖臑。观其割分， 则体势互通，盖易了也。其棋或修短、或广狭、立方不等者，亦割分以为六鳖臑。
其形不悉相似。然见数同，积实均也。鳖臑殊形，陽马异体。然陽马异体，则不 纯合。不纯合，则难为之矣。何则？按：邪解方棋以为堑堵者，必当以半为分； 邪解堑堵以为陽马者，亦必当以半为分，一从一横耳。设以陽马为分内，鳖臑为 分外。棋虽或随修短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已。
其使鳖臑广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖臑之棋各二，皆用赤棋。又使陽马之广、 袤、高各二尺，用立方之棋一，堑堵、陽马之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑， 接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中攽其广、袤，又中分其高。令赤、黑堑堵 各自适当一方，高一尺，方一尺，每二分鳖臑，则一陽马也。其余两端各积本体， 合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棋改，而固 有常然之势也。按：余数具而可知者有一、二分之别，则一、二之为率定矣。其 于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广、袤、高之数，各半之，则四分之三又可 知也。半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？数而 求穷之者，谓以情推，不用筹算。鳖臑之物，不同器用；陽马之形，或随修短广 狭。然不有鳖臑，无以审陽马之数，不有陽马，无以知锥亭之数，功实之主也。〕 今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺。问积几何？答曰： 二十三尺少半尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。
〔按：此术臑者，臂节也。或曰：半陽马，其形有似鳖肘，故以名云。中破 陽马，得两鳖臑。鳖臑之见数即陽马之半数。数同而实据半，故云六而一，即得。〕 今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺；末广八尺，无深；袤七尺。问积 几何？答曰：八十四尺。
术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。
〔按：此术羡除，实隧道也。其所穿地，上平下邪，似两鳖臑夹一堑堵，即 羡除之形。假令用此棋：上广三尺，深一尺，下广一尺；末广一尺，无深；袤一 尺。下广、末广皆堑堵之广。上广者，两鳖臑与一堑堵相连之广也。以深、袤乘， 得积五尺。鳖臑居二，堑堵居三，其于本棋皆一为六，故六而一。合四陽马以为 方锥。邪画方锥之底，亦令为中方。就中方削而上合，全为中方锥之半。于是陽 马之棋悉中解矣。中锥离而为四鳖臑焉。故外锥之半亦为四鳖臑。虽背正异形， 与常所谓鳖臑参不相似，实则同也。所云夹堑堵者，中锥之鳖臑也。凡堑堵上袤 短者，连陽马也。下袤短者，与鳖臑连也。上、下两袤相等知，亦与鳖臑连也。
并三广，以高、袤乘，六而一，皆其积也。今此羡除之广即堑堵之袤也。按： 此本是三广不等，即与鳖臑连者。别而言之：中央堑堵广六尺，高三尺，袤七尺。
末广之两旁，各一小鳖臑，皆与堑堵等。令小鳖臑居里，大鳖臑居表，则大鳖臑 皆出橢方锥：下广二尺，袤六尺，高七尺。分取其半，则为袤三尺。以高、广乘 之，三而一，即半锥之积也。邪解半锥得此两大鳖臑。求其积，亦当六而一，合 于常率矣。按：陽马之棋两邪，棋底方。当其方也，不问旁角而割之，相半可知 也。推此上连无成不方，故方锥与陽马同实。角而割之者，相半之势。此大小鳖 臑可知更相表里，但体有背正也。〕 今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈。问积几何？答曰： 五千尺。
术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。
〔推明义理者：旧说云：“凡积刍有上下广曰童，甍，谓其屋盖之苫也。” 是故甍之下广、袤与童之上广、袤等。正解方亭两边，合之即刍甍之形也。假令 下广二尺，袤三尺；上袤一尺，无广；高一尺。其用棋也，中央堑堵二，两端陽 马各二。倍下袤，上袤从之，为七尺。以下广乘之，得幂十四尺。陽马之幂各居 二，堑堵之幂各居三。以高乘之，得积十四尺。其于本棋也，皆一而为六。故六 而一，即得。亦可令上下袤差乘广，以高乘之，三而一，即四陽马也；下广乘上 袤而半之，高乘之，即二堑堵；并之，以为甍积也。〕 刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。
术曰：倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之，并，以高 若深乘之，皆六而一。
〔按：此术假令刍童上广一尺，袤二尺；下广三尺，袤四尺；高一尺。其用 棋也，中央立方二，四面堑堵六，四角陽马四。倍下袤为八，上袤从之，为十， 以高、广乘之，得积三十尺。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各 六，四角陽马亦各六。复倍上袤，下袤从之，为八，以高、广乘之，得积八尺。
是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二。并两旁，三品棋皆一而为六。故六而一， 即得。为术又可令上下广袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四陽马；上下广袤 互相乘，并，而半之，以高乘之，即四面六堑堵与二立方；并之，为刍童积。又 可令上下广袤互相乘而半之，上下广袤又各自乘，并，以高乘之，三而一，即得 也。〕 其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为 下袤。
〔此池环而不通匝，形如盘蛇，而曲之。亦云周者，谓如委谷依垣之周耳。
引而伸之，周为袤。求袤之意，环田也。〕 今有刍童，下广二丈，袤三丈；上广三丈，袤四丈；高三丈。问积几何？答 曰：二万六千五百尺。
今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈；下中周一丈四尺，外周二丈四 尺，广五尺；深一丈。问积几何？答曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。
今有盘池，上广六丈，袤八丈；下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几何？答 曰：七万六百六十六尺太半尺。
负土往来七十步，其二十步上下棚除，棚除二当平道五；踟蹰之间十加一； 载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸。秋程人功行五十九里半。
问人到积尺及用徒各几何？答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三 分人之六十二。
术曰：以一笼积尺乘程行步数，为实。往来上下棚除二当平道五。
〔棚，阁；除，斜道；有上下之难，故使二当五也。〕 置定往来步数，十加一，及载输之间三十步，以为法。除之，所得即一人所 到尺。以所到约积尺，即用徒人数。
〔按：此术棚，阁；除，斜道；有上下之难，故使二当五。置定往来步数， 十加一，及载输之间三十步，是为往来一返凡用一百四十步。于今有术为所有率， 笼积一尺六寸为所求率，程行五十九里半为所有数，而今有之，即所到尺数。以 所到约积尺，即用徒人数者，此一人之积除其众积尺，故得用徒人数。为术又 可令往来一返所用之步约程行为返数，乘笼积为一人所到。以此术与今有术相 反覆，则乘除之或先后，意各有所在而同归耳。〕 今有冥谷，上广二丈，袤七丈；下广八尺，袤四丈；深六丈五尺。问积几何？ 答曰：五万二千尺。
载土往来二百步，载输之间一里。程行五十八里；六人共车，车载三十四尺 七寸。问人到积尺及用徒各几何？答曰：人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二 百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六。
术曰：以一车积尺乘程行步数，为实。置今往来步数，加载输之间一里，以 车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。
〔按：此术今有之义。以载输及往来并得五百步，为所有率，车载三十四尺 七寸为所求率，程行五十八里，通之为步，为所有数，而今有之，所得即一车所 到。欲得人到者，当以六人除之，即得。术有分，故亦更令乘法而并除者，亦用 以车尺数以为一人到土率，六人乘五百步为行率也。又亦可五百步为行率，令六 人约车积尺数为一人到土率，以负土术入之。入之者，亦可求返数也。要取其会 通而已。术恐有分，故令乘法而并除。以所到约积尺，即用徒人数者，以一人所 到积尺除其众积，故得用徒人数也。〕 今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几何？答曰：积八千尺。
〔于徽术，当积七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。
淳风等按：依密率，为积七千六百三十六尺十一分尺之四。〕 为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。
〔于徽术，当粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。
淳风等按：依密率，为粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。〕 今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？答曰：积三百五十 尺。
〔依徽术，当积三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。
淳风等按：依密率，为积三百三十四尺十一分尺之一。〕 为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。
〔依徽术，当菽一百三十七斛一万二千七百一十七分斛之七千七百七十一。
淳风等按：依密率，为菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。〕 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米各几何？答曰：积三十 五尺九分尺之五。
〔于徽术，当积三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。
淳风等按：依密率，当积三十三尺三十三分尺之三十一。〕 为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。
〔于徽术，当米二十斛三万八千一百五十一分斛之三万六千九百八十。
淳风等按：依密率，为米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。〕 委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。
〔此犹圆锥也。于徽术，亦当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百 四十二而一也。〕 其依垣者， 〔居圆锥之半也。〕 十八而一。
〔于徽术，当令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。
依垣之周，半于全周。其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一，故半全周之法以为 法也。〕 其依垣内角者， 〔角，隅也，居圆锥四分之一也。〕 九而一。
〔于徽术，当令此下周自乘，而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七 十一而一。依隅之周，半于依垣。其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一，当半依 垣之法以为法。法不可半，故倍其实。又此术亦用周三径一之率。假令以三除周， 得径；若不尽，通分内子，即为径之积分。令自乘，以高乘之，为三方锥之积分。
母自相乘得九，为法，又当三而一，得方锥之积。从方锥中求圆锥之积，亦犹方 幂求圆幂。乃当三乘之，四而一，得圆锥之积。前求方锥积，乃以三而一；今求 圆锥之积，复合三乘之。二母既同，故相准折。惟以四乘分母九，得三十六而连 除，圆锥之积。其圆锥之积与平地聚粟同，故三十六而一。
淳风等按：依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百 三十二而一；依隅者，六十六而一也。〕 程粟一斛积二尺七寸； 〔二尺七寸者，谓方一尺，深二尺七寸，凡积二千七百寸。〕 其米一斛积一尺六寸五分寸之一； 〔谓积一千六百二十寸。〕 其菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三。
〔谓积二千四百三十寸。此为以精粗为率，而不等其概也。粟率五，米率三， 故米一斛于粟一斛，五分之三；菽、荅、麻、麦亦如本率云。故谓此三量器为概， 而皆不合于今斛。当今大司农斛，圆径一尺三寸五分五厘，正深一尺，于徽术， 为积一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三。王莽铜斛于今尺为深九寸 五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫。以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有 奇。《周官·考工记》：朅氏为量，深一尺，内方一尺而圆外，其实一釜。于徽 术，此圆积一千五百七十寸。《左氏传》曰：“齐旧四量：豆、区、釜、钟。四 升曰豆，各自其四，以登于釜。釜十则钟。”钟六斛四斗。釜六斗四升，方一尺， 深一尺，其积一千寸。若此方积容六斗四升，则通外圆积成旁，容十斗四合一龠 五分龠之三也。以数相乘之，则斛之制：方一尺而圆其外，庣旁一厘七毫，幂一 百五十六寸四分寸之一，深一尺，积一千五百六十二寸半，容十斗。王莽铜斛与 《汉书·律历志》所论斛同。〕 今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几何？答曰：二丈。
术曰：置粟一万斛积尺为实。广、袤相乘为法。实如法而一，得高尺。
〔以广袤之幂除积，故得高。按：此术本以广袤相乘，以高乘之，得此积。
今还元，置此广袤相乘为法，除之，故得高也。〕 今有圆囷， 〔圆囷，廪也，亦云圆囤也。〕 高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。问周几何？答曰：五丈四尺。
〔于徽术，当周五丈五尺二寸二十分寸之九。
淳风等按：依密率，为周五丈五尺一百分尺之二十七。〕 术曰：置米积尺， 〔此积犹圆堡昪之积。〕 以十二乘之，令高而一。所得，开方除之，即周。
〔于徽术，当置米积尺，以三百一十四乘之，为实。二十五乘囷高为法。所 得，开方除之，即周也。此亦据见幂以求周，失之于微少也。晋武库中有汉时王 莽所作铜斛，其篆书字题斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圆其外，庣旁九厘五毫， 幂一百六十二寸；深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。及斛底云：律嘉量斗， 方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一尺六寸二分。深一寸，积一百六十二寸，容 一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。后有赞文，与今律历志同， 亦魏晋所常用。今粗疏王莽铜斛文字、尺、寸、分数，然不尽得升、合、勺之文 字。按：此术本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此积。今还元，置此积，以 十二乘之，令高而一，即复本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数。故 开方除之，即得也。
淳风等按：依密率，以八十八乘之，为实。七乘囷高为法。实如法而一。开 方除之，即周也。〕
○均输（以御远近劳费） 今有均输粟，甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一 万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。
凡四县赋当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近、户数多少衰出之，问粟、 车各几何？答曰：甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘。乙县粟六万三 千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千 五百二十七乘。丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。
术曰：令县户数各如其本行道日数而一，以为衰。
〔按：此均输，犹均运也。令户率出车，以行道日数为均，发粟为输。据甲 行道八日，因使八户共出一车；乙行道十日，因使十户共出一车。计其在道，则 皆户一日出一车，故可为均平之率也。
淳风等按：县户有多少之差，行道有远近之异。欲其均等，故各令行道日数 约户为衰。行道多者少其户，行道少者多其户。故各令约户为衰。以八日约除甲 县，得一百二十五，乙、丙各九十五，丁六十一。于今有术，副并为所有率。未 并者各为所求率，以赋粟车数为所有数，而今有之，各得车数。一旬除乙，十三 除丙，各得九十五；二旬除丁，得六十一也。〕 甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并为法。以赋粟车数 乘未并者，各自为实。
〔衰，分科率。〕 实如法得一车。
〔各置所当出车，以其行道日数乘之，如户数而一，得率：户用车二日四十 七分日之三十一，故谓之均。求此户以率，当各计车之衰分也。〕 有分者，上下辈之。
〔辈，配也。车、牛、人之数不可分裂，推少就多，均赋之宜。今按：甲分 既少，宜从于乙。满法除之，有余从丙。丁分又少，亦宜就丙。除之适尽。加乙、 丙各一，上下辈益，以少从多也。〕 以二十五斛乘车数，即粟数。
今有均输卒：甲县一千二百人，薄塞；乙县一千五百五十人，行道一日；丙 县一千二百八十人，行道二日；丁县九百九十人，行道三日；戊县一千七百五十 人，行道五日。凡五县赋输卒一月一千二百人。欲以远近、人数多少衰出之，问 县各几何？答曰：甲县二百二十九人。乙县二百八十六人。丙县二百二十八人。
丁县一百七十一人。戊县二百八十六人。
术曰：令县卒各如其居所及行道日数而一，以为衰。
〔按：此亦以日数为均，发卒为输。甲无行道日，但以居所三十日为率。言 欲为均平之率者，当使甲三十人而出一人，乙三十一人而出一人。出一人者，计 役则皆一人一日，是以可为均平之率。〕 甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副并为法。以人数乘未并者各 自为实。实如法而一。
〔为衰，于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，以赋卒人数为所有 数。此术以别，考则意同，以广异闻，故存之也。各置所当出人数，以其居所及 行道日数乘之，如县人数而一。得率：人役五日七分日之五。〕 有分者，上下辈之。
〔辈，配也。今按：丁分最少，宜就戊除。不从乙者，丁近戊故也。满法除 之，有余从乙。丙分又少，亦就乙除，有余从甲。除之适尽。从甲、丙二分，其 数正等，二者于乙远近皆同，不以甲从乙者，方以下从上也。〕 今有均赋粟：甲县二万五百二十户，粟一斛二十钱，自输其县；乙县一万二 千三百一十二户，粟一斛一十钱，至输所二百里；丙县七千一百八十二户，粟一 斛一十二钱，至输所一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，粟一斛一十七钱， 至输所二百五十里；戊县五千一百三十户，粟一斛一十三钱，至输所一百五十里。
凡五县赋输粟一万斛。一车载二十五斛，与僦一里一钱。欲以县户赋粟，令费劳 等，问县各粟几何？答曰：甲县三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一 十七。乙县二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙县一千三百 八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁县一千七百一十九斛二千八 百七十三分斛之一千三百一十三。戊县九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千 二百五十三。
术曰：以一里僦价乘至输所里， 〔此以出钱为均也。问者曰：“一车载二十五斛，与僦一里一钱。”一钱， 即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所所用钱也。甲自输其县，则无取 僦价也。〕 以一车二十五斛除之， 〔欲知僦一斛所用钱。〕 加一斛粟价，则致一斛之费。
〔加一斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱也：甲一斛之费二十，乙、丙各 十八，丁二十七，戊十九也。〕 各以约其户数，为衰。
〔言使甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛。计其所费，则皆户一钱， 故可为均赋之率也。计经赋之率，既有户算之率，亦有远近、贵贱之率。此二率 者，各自相与通。通则甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五。一斛之费谓之钱 率。钱率约户率者，则钱为母，户为子。子不齐，令母互乘为齐，则衰也。若其 不然。以一斛之费约户数，取衰。并有分，当通分内子，约之，于算甚繁。此一 章皆相与通功共率，略相依似。以上二率、下一率亦可放此，从其简易而已。又 以分言之，使甲一户出二十分斛之一，乙一户出十八分斛之一，各以户数乘之， 亦可得一县凡所当输，俱为衰也。乘之者，乘其子，母报除之。以此观之，则以 一斛之费约户数者，其意不异矣。然则可置一斛之费而反衰之。约户，以乘户率 为衰也。合分注曰：“母除为率，率乘子为齐。”反衰注曰：“先同其母，各以 分母约，其子为反衰。”以施其率，为算既约，且不妨处下也。〕 甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊 衰二百七十，副并为法。所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一。
〔各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如户数而一，得率：户出三钱二千八 百七十三分钱之一千三百八十一。按：此以出钱为均。问者曰：“一车载二十五 斛，与僦一里一钱。”一钱即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所用钱。
甲自输其县，则无取僦之价。以一车二十五斛除之者，欲知僦一斛所用钱。加一 斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱：甲一斛之费二十，乙、丙各十八，丁二十 七，戊一十九。各以约其户，为衰：甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三 百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。言使甲二十户共出一斛，乙、丙十 八户共出一斛。计其所费，则皆户一钱，故可为均赋之率也。于今有术，副并为 所有率，未并者各为所求率，赋粟一万斛为所有数。此今有、衰分之义也。〕 今有均赋粟：甲县四万二千算，粟一斛二十，自输其县；乙县三万四千二百 七十二算，粟一斛一十八，佣价一日一十钱，到输所七十里；丙县一万九千三百 二十八算，粟一斛一十六，佣价一日五钱，到输所一百四十里；丁县一万七千七 百算，粟一斛一十四，佣价一日五钱，到输所一百七十五里；戊县二万三千四十 算，粟一斛一十二，佣价一日五钱，到输所二百一十里；己县一万九千一百三十 六算，粟一斛一十，佣价一日五钱，到输所二百八十里。凡六县赋粟六万斛，皆 输甲县。六人共车，车载二十五斛，重车日行五十里，空车日行七十里，载输之 间各一日。粟有贵贱，佣各别价，以算出钱，令费劳等，问县各粟几何？答曰： 甲县一万八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。乙县一万八百二十七斛一 百三十三分斛之九，丙县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。丁县六千七百 六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。戊县九千二十二斛一百三十三分斛之七 十四。己县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。
术曰：以车程行空、重相乘为法，并空、重，以乘道里，各自为实，实如法 得一日。
〔按：此术重往空还，一输再行道也。置空行一里用七十分日之一，重行一 里用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。
完言之者，一百七十五里之路，往返用六日也。故并空、重者，齐其子也；空、 重相乘者，同其母也。于今有术，至输所里为所有数，六为所求率，一百七十五 为所有率，而今有之，即各得输所用日也。〕 加载输各一日， 〔故得凡日也。〕 而以六人乘之， 〔欲知致一车用人也。〕 又以佣价乘之， 〔欲知致车人佣直几钱。〕 以二十五斛除之， 〔欲知致一斛之佣直也。〕 加一斛粟价，即致一斛之费。
〔加一斛之价于致一斛之佣直，即凡输一斛粟取佣所用钱。〕 各以约其算数为衰， 〔今按：甲衰四十二，乙衰二十四，丙衰十六，丁衰十五，戊衰二十，己衰 十六。于今有术，副并为所有率，未并者各自为所求率，所赋粟为所有数。此今 有、衰分之义也。〕 副并为法，以所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一斛。
〔各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如算数而一，得率：算出九钱一百三 十三分钱之三。又载输之间各一日者，即二日也。〕 今有粟七斗，三人分舂之，一人为粝米，一人为粺米，一人为米， 令米数等。问取粟、为米各几何？答曰：粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十。
粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。米取粟二斗一百二十一分斗之 七十三。为米各一斗六百五分斗之一百五十一。
术曰：列置粝米三十，粺米二十七，米二十四，而反衰之。
〔此先约三率：粝为十，粺为九，为八。欲令米等者，其取粟：粝 率十分之一，粺率九分之一，率八分之一。当齐其子，故曰反衰也。
淳风等按：米有精粗之异，粟有多少之差。据率，粺、少而粝多； 用粟，则粺、多而粝少。米若依本率之分，粟当倍率，故今反衰之，使 精取多而粗得少。〕 副并为法。以七斗乘未并者，各自为取粟实。实如法得一斗。
〔于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，粟七斗为所有数，而今有 之，故各得取粟也。〕 若求米等者，以本率各乘定所取粟为实，以粟率五十为法，实如法得一斗。
〔若径求为米等数者，置粝米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十； 米十二，用粟二十五。齐其粟，同其米，并齐为法。以七斗乘同为实。所得，即 为米斗数。〕 今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问各几何？答 曰；米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。
术曰：置米一、菽二，求为粟之数。并之，得三、九分之八，以为法。亦置 米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自为实。实如法得一斛。
〔淳风等按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一 之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。
并全，得三。齐子，并之，得二十四；同母，得二十七；约之，得九分之八。故 云“并之，得三、九分之八”。米一、菽二当粟三、九分之八，此其粟率也。于 今有术，米一、菽二皆为所求率，当粟三、九分之八，为所有率，粟二斛为所有 数。凡言率者，当相与。通之，则为米九、菽十八，当粟三十五也。亦有置米 一、菽二，求其为粟之率，以为列衰。副并为法，以粟乘列衰为实。所得即米一、 菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之，即合所问。〕 今有取佣，负盐二斛，行一百里，与钱四十。今负盐一斛七斗三升少半升， 行八十里。问与钱几何？答曰：二十七钱一十五分钱之一十一。
术曰：置盐二斛升数，以一百里乘之为法。
〔按：此术以负盐二斛升数乘所行一百里，得二万里。是为负盐一升行二万 里，得钱四十。于今有术，为所有率。〕 以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之，为实。实如法得一钱。
〔以今负盐升数乘所行里，今负盐一升凡所行里也。于今有术以所有数，四 十钱为所求率也。衰分章“贷人千钱”与此同。〕 今有负笼重一石，行百步，五十返。今负笼重一石一十七斤，行七十六步， 问返几何？答曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。
术曰：以今所行步数乘今笼重斤数，为法。
〔此法谓负一斤一返所行之积步也。〕 故笼重斤数乘故步，又以返数乘之，为实。实如法得一返。
〔按：此法，负一斤一返所行之积步；此实者一斤一日所行之积步。故以一 返之课除终日之程，即是返数也。
淳风等按：此术，所行步多者得返少，所行步少者得返多。然则故所行者今 返率也。故令所得返乘今返之率，为实，而以故返之率为法，今有术也。按：此 负笼又有轻重，于是为术者因令重者得返少，轻者得返多。故又因其率以乘法、 实者，重今有之义也。然此意非也。按：此笼虽轻而行有限，笼过重则人力遗。
力有遗而术无穷，人行有限而笼轻重不等。使其有限之力随彼无穷之变，故知此 术率乖理也。若故所行有空行返数，设以问者，当因其所负以为返率，则今返之 数可得而知也。假令空行一日六十里，负重一斛行四十里。减重一斗进二里半， 负重二斗以下与空行同。今负笼重六斗，往返行一百步，问返几何？答曰：一百 五十返。术曰：置重行率，加十里，以里法通之，为实。以一返之步为法。实如 法而一，即得也。〕 今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五 日三返，问太仓去上林几何？答曰：四十八里一十八分里之一十一 术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之， 为实。实如法得一里。
〔此亦如上术。率：一百七十五里之路，往返用六日也。于今有术，则五日 为所有数，一百七十五里为所求率，六日为所有率。以此所得，则三返之路。今 求一返，当以三约之，因令乘法而并除也。为术亦可各置空、重行一里用日之率， 以为列衰，副并为法。以五日乘列衰为实。实如法，所得即各空、重行日数也。
各以一日所行以乘，为凡日所行。三返约之，为上林去太仓之数。按：此术重往 空还，一输再还道。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齐 而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十 五里之路，往返用六日。故并空、重者，并齐也；空、重相乘者，同其母也。于 今有术，五日为所有数，一百七十五为所求率，六为所有率。以此所得，则三返 之路。今求一返者，当以三约之。故令乘法而并除，亦当约之也。〕 今有络丝一斤为练丝一十二两，练丝一斤为青丝一斤一十二铢。今有青丝一 斤，问本络丝几何？答曰：一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。
术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤 两数，又以络丝一斤乘，为实。实如法得一斤。
〔按：练丝一斤为青丝一斤十二铢，此练率三百八十四，青率三百九十六也。
又络丝一斤为练丝十二两，此络率十六，练率十二也。置今有青丝一斤，以练率 三百八十四乘之，为实。实如青丝率三百九十六而一。所得，青丝一斤，练丝之 数也。又以络率十六乘之，所得为实；以练率十二为法。所得，即练丝用络丝之 数也。是谓重今有也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法而并 除也。故以练丝两数为实，青丝铢数为法。一曰：又置络丝一斤两数与练丝十 二两，约之，络得四，练得三。此其相与之率。又置练丝一斤铢数与青丝一斤一 十二铢，约之，练得三十二，青得三十三。亦其相与之率。齐其青丝、络丝，同 其二练，络得一百二十八，青得九十九，练得九十六，即三率悉通矣。今有青丝 一斤为所有数，络丝一百二十八为所求率，青丝九十九为所有率。为率之意犹此， 但不先约诸率耳。凡率错互不通者，皆积齐同用之。放此，虽四五转不异也。言 同其二练者，以明三率之相与通耳，于术无以异也。又一术：今有青丝一斤铢 数乘练丝一斤两数，为实；以青丝一斤一十二铢为法。所得，即用练丝两数。以 络丝一斤乘所得为实，以练丝十二两为法，所得，即用络丝斤数也。〕 今有恶粟二十斗，舂之，得粝米九斗。今欲求粺米一十斗，问恶粟几何？ 答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。
术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以恶 粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。
〔按：此术置今有求粺米十斗，以粝米率十乘之，如粺率九而一，即 粺化为粝，又以恶粟率二十乘之，如粝率九而一，即粝亦化为恶粟矣。此亦重 今有之义。为术之意犹络丝也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘 前法而并除之也。〕 今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者 追之。问几何步及之？答曰：二百五十步。
术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者 之一百步乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。
〔按：此术以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行 一百步，追及率。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一 百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也。〕 今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善 行者几何里及之？答曰：三十三里少半里。
术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善 行者先行一十里乘善行者一百里，为实。实如法得一里。
〔按：此术不善行者既先行一十里，后不及二十里，并之，得三十里也，谓 之先行率。善行者一百里为追及率。约之，先行率得三，三为所有率，而今有之， 即得也。其意如上术也。〕 今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行 几何步及之？答曰：一百七步七分步之一。
术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘 犬追步数为实。实如法得一步。
〔按：此术以不及三十步减先走一百步，余七十步，为兔先走率。犬行二百 五十步为追及率。约之，先走率得七，追及率得二十五。于今有术，不及三十步 为所有数，二十五为所求率，七为所有率，而今有之，即得也。〕 今有人持金十二斤出关，关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。
问金一斤值钱几何？答曰：六千二百五十。
术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以一十乘五千为实。实如法 得一钱。
〔按：此术置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所当税者 也。减二斤，余即关取盈金。以盈除所偿钱，即金值也。今术既以十二斤为所税， 则是以十为母，故以十乘二斤及所偿钱，通其率。于今有术，五千钱为所有数， 十为所求率，八为所有率，而今有之，即得也。〕 今有客马，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃觉。持衣追及， 与之而还；至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？答曰：七百八十里。
术曰：置四分日之三，除三分日之一， 〔按：此术“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其减也。减之余，有 十二分之五，即是主人追客还用日率也。〕 半其余，以为法。
〔去其还，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是为主人 与客均行用日之率也。〕 副置法，增三分日之一。
〔法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未觉之 前独行用日之分也。并连此数，得二十四分日之十三，则主人追及前用日之分也。
是为客用日率也。然则主人用日率者，客马行率也；客用日率者，主人马行率也。
母同则子齐，是为客马行率五，主人马行率十三。于今有术，三百里为所有数， 十三为所求率，五为所有率，而今有之，即得也。〕 以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。
〔欲知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一， 得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四，如客马与主人均行用 日分子五而一，亦得主人马一日行七百八十里也。〕 今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重 几何？答曰：末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤 八两。次一尺重四斤。
术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。
副置，以差率减之，每尺各自为衰。
〔按：此术五尺有四间者，有四差也。今本末相减，余即四差之凡数也。以 四约之，即得每尺之差。以差数减本重，余即次尺之重也。为术所置，如是而已。
今此率以四为母，故令母乘本为衰，通其率也。亦可置末重，以四间乘之，为上 第一衰。以差重率加之，为次下衰也。〕 副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。
〔以下第一衰为法，以本重乘其分母之 数，而又反此率乘本重，为实。一乘 一除，势无损益，故惟本存焉。众衰相推为率，则其余可知也。亦可副置末衰为 法，而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回，然是其旧。故就新而言之也。〕 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？答曰：甲得一钱 六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之 四。
术曰：置钱，锥行衰。
〔按：此术“锥行”者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均， 为一列者也。〕 并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。
〔数不得等，但以五、四、三、二、一为率也。〕 以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。
〔此问者，令上二人与下三人等，上、下部差一人，其差三。均加上部，则 得二三；均加下部，则得三三。下部犹差一人，差得三，以通于本率，即上、下 部等也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五钱为所有数，而今有 之，即得等耳。假令七人分七钱，欲令上二人与下五人等，则上、下部差三人。
并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上。当以上、下部列差而后均 减，乃合所问耳。此可仿下术：令上二人分二钱半为上率，令下三人分二钱半为 下率。上、下二率以少减多，余为实。置二人、三人，各半之，减五人，余为法。
实如法得一钱，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也。〕 今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容，各多少？ 答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十 六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分 升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三 十九。
术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。
〔此二率者，各其平率也。〕 上、下率以少减多，余为实。
〔按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。上、下以少减多者，余为中 间五节半之凡差，故以为实也。〕 置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升。即衰相去也。
〔按此术法者，上下节所容已定之节，中间相去节数也；实者，中间五节半 之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。〕 下率一升少半升者，下第二节容也。
〔一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。〕 今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问何 日相逢？答曰：三日十六分日之十五。
术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。
〔按：此术置凫七日一至，雁九日一至。齐其至，同其日，定六十三日凫九 至，雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。
故“并日数为法”者，并齐之意；“日数相乘为实”者，犹以同为实也。一曰： 凫飞日行七分至之一，雁飞日行九分至之一。齐而同之，凫飞定日行六十三分至 之九，雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分，凫日行九分，雁 日行七分也。并凫、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。〕 今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发 长安，问几何日相逢？答曰：二日十二分日之一。
术曰：并五日、七日，以为法。
〔按：此术“并五日、七日为法”者，犹并齐为法。置甲五日一至，乙七日 一至。齐而同之，定三十五日甲七至，乙五至。并之为十二至者，用三十五日也。
谓甲、乙与发之率耳。然则日化为至，当除日，故以为法也。〕 以乙先发二日减七日， 〔“减七日”者，言甲、乙俱发，今以发为始发之端，于本道里则余分也。〕 也。
余，以乘甲日数为实。
〔七者，长安去齐之率也；五者，后发相去之率也。今问后发，故舍七用五。
以乘甲五日，为二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也。
实如法得一日。
〔一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齐而同之，甲定日行三十五分至 之七，乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分，甲日行七分，乙日行 五分也。今乙先行发二日，已行十分，余，相去二十五分。故减乙二日，余，令 相乘，为二十五分。〕 今有一人一日为牝瓦三十八枚，一人一日为牡瓦七十六枚。今令一人一日作 瓦，牝、牡相半，问成瓦几何？答曰：二十五枚少半枚。
术曰：并牝、牡为法，牝、牡相乘为实，实如法得一枚。
〔此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并，犹如凫、雁日飞相并也。按：此术 “并牝、牡为法”者，并齐之意；“牝、牡相乘为实”者，犹以同为实也。故实 如法，即得也。〕 今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日摐矢十五。今令一人 一日自矫、羽、摐，问成矢几何？答曰：八矢少半矢。
术曰：矫矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；摐矢五十，用徒 三人少半人。并之，得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。
〔按：此术言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工其作，犹凫、雁共至 之类，亦以同为实，并齐为法。可令矢互乘一人为齐，矢相乘为同。今先令同于 五十矢。矢同则徒齐，其归一也。——以此术为凫雁者，当雁飞九日而一至，凫 飞九日而一至七分至之二。并之，得二至七分至之二，以为法。以九日为实。— —实如法而一，得一人日成矢之数也。〕 今有假田，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一 百。问田几何？答曰：一顷二十七亩四十七分亩之三十一。
术曰：置亩数及钱数。令亩数互乘钱数，并，以为法。亩数相乘，又以百钱 乘之，为实。实如法得一亩。
〔按：此术令亩互乘钱者，齐其钱；亩数相乘者，同其亩。同于六十，则初 假之岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二也。凡三岁得钱一百，为所有数， 同亩为所求率，四十七钱为所有率，今有之，即得也。齐其钱，同其亩，亦如凫 雁术也。于今有术，百钱为所有数，同亩为所求率，并齐为所有率。
淳风等按：假田六十亩，初岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二。
并之，得钱四十七。是为得田六十亩，三岁所假。于今有术，百钱为所有数，六 十亩为所求率，四十七为所有率，而今有之，即合问也。〕 今有程耕，一人一日发七亩，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩。今令一 人一日自发、耕、耰种之，问治田几何？答曰：一亩一百一十四步七十一分步之 六十六。
术曰：置发、耕、耰亩数，令互乘人数，并，以为法。亩数相乘为实。实如 法得一亩。
〔此犹凫雁术也。
淳风等按：此术亦发、耕、耰种亩数互乘人者，齐其人；亩数相乘者，同 其亩。故并齐为法，以同为实。计田一百五亩，发用十五人，耕用三十五人，种 用二十一人。并之，得七十一工。治得一百五亩，故以为实。而一人一日所治， 故以人数为法除之，即得也。〕 今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满，次一日一满，次二日半一满， 次三日一满，次五日一满。今皆决之，问几何日满池？答曰：七十四分日之十五。
术曰：各置渠一日满池之数，并，以为法。
〔按：此术其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者， 是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日 五分满之一也。并之，得四满十五分满之十四也。〕 以一日为实，实如法得一日。
〔此犹矫矢之术也。先令同于一日，日同则满齐。自凫雁至此，其为同齐有 二术焉，可随率宜也。〕 其一术：各置日数及满数。
〔其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是五日 二满；次三日一满，次五日一满。此谓之列置日数及满数也。〕 令日互相乘满，并，以为法。日数相乘为实。实如法得一日。
〔亦如凫雁术也。按：此其一渠少半日满池者，是一日三满池也；次一日一 满；次二日半满者，是五日再满；次三日一满；次五日一满。此谓列置日数于右 行，及满数于左行。以日互乘满者，齐其满；日数相乘者，同其日。满齐而日同， 故并齐以除同，即得也。〕 今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五 斗。问本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。
术曰：置米五斗，以所税者三之，五之，七之，为实。以余不税者二、四、 六相互乘为法。实如法得一斗。
〔此亦重今有也。所税者，谓今所当税之。定三、五、七皆为所求率，二、 四、六皆为所有率。置今有余米五斗，以七乘之，六而一，即内关未税之本米也。
又以五乘之，四而一，即中关未税之本米也。又以三乘之，二而一，即外关未税 之本米也。今从末求本，不问中间，故令中率转相乘而同之，亦如络丝术。
又一术：外关三而取一，则其余本米三分之二也。求外关所税之余，则当置 一，二分乘之，三而一。欲知中关，以四乘之，五而一。欲知内关，以六乘之， 七而一。凡余分者，乘其母、子：以三、五、七相乘得一百五，为分母；二、四、 六相乘，得四十八，为分子。约而言之，则是余米于本所持三十五分之十六也。
于今有术，余米五斗为所有数，分母三十五为所求率，分子十六为所有率也。〕 今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五 而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问本持金几何？答曰：一斤三 两四铢五分铢之四。
术曰：置一斤，通所税者以乘之，为实。亦通其不税者，以减所通，余为法。
实如法得一斤。
〔此意犹上术也。“置一斤，通所税者”，谓令二、三、四、五、六相乘， 为分母，七百二十也。“通其所不税者”，谓令所税之余一、二、三、四、五相 乘，为分子，一百二十也。约而言之，是为余金于本所持六分之一也。以子减母， 凡五关所税六分之五也。于今有术，所税一斤为所有数，分母六为所求率，分子 五为所有率。此亦重今有之义。又虽各有率，不问中间，故令中率转相乘而连除 之，即得也。置一以为持金之本率，以税率乘之、除之，则其率亦成积分也。〕
○盈不足（以御隐杂互见） 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？答曰： 七人。物价五十三。
今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？ 答曰：九人。鸡价七十。
今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、琎价各几何？答 曰：四十二人。琎价十七。
〔注云“若两设有分者，齐其子，同其母”，此问两设俱见零分，故齐其子， 同其母。又云“令下维乘上。讫，以同约之”，不可约，故以乘，同之。〕 今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三 十。问家数、牛价各几何？答曰：一百二十六家。牛价三千七百五十。
〔按：此术并盈不足者，为众家之差，故以为实。置所出率，各以家数除之， 各得一家所出率。以少减多者，得一家之差。以除，即家数。以出率乘之，减盈， 故得牛价也。〕 术曰：置所出率，盈不足各居其下。令维乘所出率，并，以为实。并盈、不 足，为法。实如法而一。
〔按：盈者，谓朓；不足者，谓之朒；所出率谓之假令。盈、朒维乘两 设者，欲为同齐之意。据“共买物，人出八，盈三；人出七，不足四”，齐其假 令，同其盈、朒，盈、朒俱十二。通计齐则不盈不朒之正数，故可并之为 实，并盈、不足为法。齐之三十二者，是四假令，有盈十二；齐之二十一者，是 三假令，亦朒十二；并七假令合为一实，故并三、四为法。〕 有分者通之。
〔若两设有分者，齐其子，同其母。令下维乘上，讫，以同约之。〕 盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价， 法为人数。
〔“所出率以少减多”者，余，谓之设差，以为少设。则并盈、朒，是为 定实。故以少设约定实，则法，为人数；适足之实故为物价。盈朒当与少设相 通。不可遍约，亦当分母乘，设差为约法、实。〕 其一术曰：并盈、不足为实。以所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。
以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。
〔此术意谓盈不足为众人之差。以所出率以少减多，余为一人之差。以一人 之差约众人之差，故得人数也。〕 今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各 几何？答曰：三十三人。金价九千八百。
今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？ 答曰：二十一人。羊价一百五十。
术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。
两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一。有分者，通之。两盈两不足相与 同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。
〔按：此术两不足者，两设皆不足于正数。其所以变化，犹两盈。而或有势 同而情违者。当其为实，俱令不足维乘相减，则遗其所不足焉。故其余所以为实 者，无朒数以损焉。盖出而有余，两盈。两设皆逾于正数。假令与共买物，人 出八，盈三；人出九，盈十。齐其假令，同其两盈。两盈俱三十。举齐则兼去。
其余所以为实者，无盈数。两盈以少减多，余为法。齐之八十者，是十假令；而 凡盈三十者，是十，以三之；齐之二十七者，是三假令；而凡盈三十者，是三， 以十之。今假令两盈共十、三，以三减十，余七，为一实。故令以三减十，余七 为法。所出率以少减多，余谓之设差。因设差为少设，则两盈之差是为定实。故 以少设约法得人数，约实即得金数。〕 其一术曰：置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足以少减多，余为实。
实如法而一，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。
〔“置所出率，以少减多”，得一人之差。两盈、两不足相减，为众人之差。
故以一人之差除之，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。〕 今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足。问人数、犬价各几何？ 答曰：二人。犬价一百。
今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？ 答曰：一十人。豕价九百。
术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。
其求物价者，以适足乘人数，得物价。
〔此术意谓以所出率，以少减多者，余是一人不足之差。不足数为众人之差。
以一人差约之，故得人之数也。以盈及不足数为实者，数单见，即众人差，故以 为实。所出率以少减多，即一人差，故以为法。以除众人差，得人数。以适足乘 人数，即得物价也。〕 今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？ 答曰：二斗五升。
术曰：以盈不足术求之。假令故米二斗，不足二升；令之三斗，有余二升。
〔按：桶受一斛，若使故米二斗，须添粟八斗以满之。八斗得粝米四斗八升， 课于七斗，是为不足二升。若使故米三斗，须添粟七斗以满之。七斗得粝米四斗 二升，课于七斗，是为有余二升。以盈不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。为 齐同者，齐其假令，同其盈朒。通计齐即不盈不朒之正数，故可以并之为实， 并盈、不足为法。实如法，即得故米斗数，乃不盈不朒之正数也。〕 今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日 相逢？瓜、瓠各长几何？答曰：五日十七分日之五。瓜长三尺七寸一十七分寸之 一。瓠长五尺二寸一十七分寸之一十六。
术曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有余一尺二寸。
〔按：“假令五日，不足五寸”者，瓜生五日，下垂蔓三尺五寸；瓠生五日， 上延蔓五尺；课于九尺之垣，是为不足五寸。“令之六日，有余一尺二寸”者， 若使瓜生六日，下垂蔓四尺二寸；瓠生六日，上延蔓六尺；课于九尺之垣，是为 有余一尺二寸。以盈、不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。齐其假令，同其盈 朒。通计齐即不盈不朒之正数，故可并以为实，并盈、不足为法。实如法而 一，即设差不盈不朒之正数，即得日数。以瓜、瓠一日之长乘之，故各得其长 之数也。〕 今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。问 几何日而长等？答曰：二日十三分日之六。各长四尺八寸一十三分寸之六。
术曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有余一尺七寸半。
〔按：“假令二日，不足一尺五寸”者，蒲生二日，长四尺五寸；莞生二日， 长三尺；是为未相及一尺五寸，故曰不足。“令之三日，有余一尺七寸半”者， 蒲增前七寸半，莞增前四尺，是为过一尺七寸半，故曰有余。以盈不足乘除之。
又以后一日所长各乘日分子，如日分母而一者，各得日分子之长也。故各增二日 定长，即得其数。〕 今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。
问醇、行酒各得几何？答曰：醇酒二升半。行洒一斗七升半。
术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十；令之醇酒二升，行酒一斗 八升，不足二。
〔据醇酒五升，直钱二十五；行酒一斗五升，直钱一十五；课于三十，是为 有余十。据醇酒二升，直钱一十；行酒一斗八升，直钱一十八；课于三十，是为 不足二。以盈不足术求之。此问已有重设及其齐同之意也。〕 今有大器五，小器一，容三斛；大器一，小器五，容二斛。问大、小器各容 几何？答曰：大器容二十四分斛之十三。小器容二十四分斛之七。
术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗；令之大器五斗五升，小器二 斗五升，不足二斗。
〔按：大器容五斗，大器五容二斛五斗。以减三斛，余五斗，即小器一所容。
故曰“小器亦五斗”。小器五容二斛五斗，大器一，合为三斛。课于两斛，乃多 十斗。令之大器五斗五升，大器五合容二斛七斗五升。以减三斛，余二斗五升， 即小器一所容。故曰小器二斗五升”。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗 五升，合为一斛八斗。课于二斛，少二斗。故曰“不足二斗”。以盈不足维乘， 除之。〕 今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。
问出漆、得油、和漆各几何？答曰：出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升。
和漆一斗八升四分升之三。
术曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二升，有余二升。
〔按：此术三斗之漆，出九升，得油一斗二升，可和漆一斗五升，余有二斗 一升，则六升无油可和，故曰“不足六升”。令之出漆一斗二升，则易得油一斗 六升，可和漆二斗。于三斗之中已出一斗二升，余有一斗八升。见在油合和得漆 二斗，则是有余二升。以盈、不足维乘之，为实。并盈、不足为法。实如法而一， 得出漆升数。求油及和漆者，四、五各为所求率，三、四各为所有率，而今有之， 即得也。〕 今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并 重十一斤。问玉、石重各几何？答曰：玉一十四寸，重六斤二两。石一十三寸， 重四斤一十四两。
术曰：假令皆玉，多十三两；令之皆石，不足一十四两。不足为玉，多为石。
各以一寸之重乘之，得玉、石之积重。
〔立方三寸是一面之方，计积二十七寸。玉方一寸重七两，石方一寸重六两， 是为玉、石重差一两。假令皆玉，合有一百八十九两。课于一十一斤，有余一十 三两。玉重而石轻，故有此多。即二十七寸之中有十三寸，寸损一两，则以为石 重，故言多为石。言多之数出于石以为玉。假令皆石，合有一百六十二两。课于 十一斤，少十四两，故曰不足。此不足即以重为轻。故令减少数于并重，即二十 七寸之中有十四寸，寸增一两也。〕 今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善、 恶田各几何？答曰：善田一十二亩半。恶田八十七亩半。
术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱七分钱之二；令 之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱七分钱之三。
〔按：善田二十亩，直钱六千；恶田八十亩，直钱五千七百一十四、七分钱 之二，课于一万，是多一千七百一十四、七分钱之二。令之善田十亩，直钱三千； 恶田九十亩，直钱六千四百二十八、七分钱之四；课于一万，是为不足五百七十 一、七分钱之三。以盈不足术求之也。〕 今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等。交 易其一，金轻十三两。问 金、银一枚各重几何？答曰：金重二斤三两一十八铢。银重一斤一十三两六铢。
术曰：假令黄金三斤，白银二斤一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令 之黄金二斤，白银一斤一十一分斤之七，多一十五，于左行。以分母各乘其行内 之数。以盈、不足维乘所出率，并，以为实。并盈、不足为法。实如法，得黄金 重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。
〔按：此术假令黄金九，白银一十一，俱重二十七斤。金，九约之，得三斤； 银，一十一约之，得二斤一十一分斤之五；各为金、银一枚重数。就金重二十七 斤之中减一金之重，以益银，银重二十七斤之中减一银之重，以益金，则金重二 十六斤一十一分斤之五，银重二十七斤一十一分斤之六。以少减多，则金轻一十 七两一十一分两之五。课于一十三两，多四两一十一分两之五。通分内子言之， 是为不足四十九。又令之黄金九，一枚重二斤，九枚重一十八斤；白银一十一， 亦合重一十八斤也。乃以一十一除之，得一斤一十一分斤之七，为银一枚之重数。
今就金重一十八斤之中减一枚金，以益银；复减一枚银，以益金，则金重一十七 斤一十一分斤之七，银重一十八斤一十一分斤之四。以少减多，即金轻一十一分 斤之八。课于一十三两，少一两一十一分两之四。通分内子言之，是为多一十五。
以盈不足为之，如法，得金重。分母乘法以除者，为银两分母，故同之。须通法 而后乃除，得银重。余皆约之者，术省故也。〕 今有良马与驽马发长安，至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里， 日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问 几何日相逢及各行几何？答曰：一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。
良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。驽马行一千四百六十五里一 百九十一分里之一百四十五。
术曰：假令十五日，不足三百三十七里半；令之十六日，多一百四十里。以 盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈、不足为法。实如法而一，得日数。不 尽者，以等数除之而命分。求良马行者：十四乘益疾里数而半之，加良马初日之 行里数，以乘十五日，得十五日之凡行。又以十五日乘益疾里数，加良马初日之 行。以乘日分子，如日分母而一。所得，加前良马凡行里数，即得。其不尽而命 分。求驽马行者：以十四乘半里，又半之，以减驽马初日之行里数，以乘十五日， 得驽马十五日之凡行。又以十五日乘半里，以减驽马初日之行，余，以乘日分子， 如日分母而一。所得，加前里，即驽马定行里数。其奇半里者，为半法。以半法 增残分，即得。其不尽者而命分。
〔按：“令十五日，不足三百三十七里半”者，据良马十五日凡行四千二百 六十里，除先去齐三千里，定还迎驽马一千二百六十里；驽马十五日凡行一千四 百二里半，并良、驽二马所行，得二千六百六十二里半。课于三千里，少三百三 十七里半。故曰不足。“令之十六日，多一百四十里”者，据良马十六日凡行四 千六百四十八里；除先去齐三千里，定还迎驽马一千六百四十八里，驽马十六日 凡行一千四百九十二里。并良、驽二马所行，得三千一百四十里。课于三千里， 余有一百四十里。故谓之多也。以盈不足之，实如法而一，得日数者，即设差不 盈不朒之正数。以二马初日所行里乘十五日，为一十五日平行数。求初末益疾 减迟之数者，并一与十四，以十四乘而半之，为中平之积。又令益疾减迟里数乘 之，各为减益之中平里。故各减益平行数，得一十五日定行里。若求后一日，以 十六日之定行里数乘日分子，如日分母而一，各得日分子之定行里数。故各并十 五日定行里，即得。其驽马奇半里者，法为全里之分，故破半里为半法，以增残 分，即合所问也。〕 今有人持钱之蜀贾，利十，三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归 一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及 利各几何？答曰：本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千 八百七十六。利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万 六千四百一十七。
术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半；令之四万，多三万五千三 百九十钱八分。
〔按：假令本钱三万，并利为三万九千；除初返归留，余，加利为三万二千 五百；除二返归留，余，又加利为二万五千三百五十；除第三返归留，余，又加 利为一万七千三百五十五；除第四返归留，余，又加利为八千二百六十一钱半； 除第五返归留，合一万钱，不足一千七百三十八钱半。若使本钱四万，并利为五 万二千；除初返归留，余，加利为四万九千四百；除第二返归留，余，又加利为 四万七千三百二十；除第三返归留，余，又加利为四万五千九百一十六；除第四 返归留，余，又加利为四万五千三百九十钱八分；除第五返归留，合一万，余三 万五千三百九十钱八分，故曰多。
又术：置后返归一万，以十乘之，十三而一，即后所持之本。加一万一千， 又以十乘之，十三而一，即第四返之本。加一万二千，又以十乘之，十三而一， 即第三返之本。加一万三千，又以十乘之，十三而一，即第二返之本。加一万四 千，又以十乘之，十三而一，即初持之本。并五返之钱以减之，即利也。〕 今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠 日自半。问几何日相逢？各穿几何？答曰：二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四 寸十七分寸之一十二，小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。
术曰：假令二日，不足五寸；令之三日，有余三尺七寸半。
〔大鼠日倍，二日合穿三尺；小鼠日自半，合穿一尺五寸；并大鼠所穿，合 四尺五寸。课于垣厚五尺，是为不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得 一尺七寸半。并之，以减垣厚五尺，有余三尺七寸半。以盈不足术求之，即得。
以后一日所穿乘日分子，如日分母而一，即各得日分子之中所穿。故各增二日定 穿，即合所问也。〕
○方程（以御错糅正负） 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉， 下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、 中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗 之一。下禾一秉二斗四分斗之三。
方程 〔程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率。二物者再程， 三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。行之左右无所同存，且为 有所据而言耳。此都术也，以空言难晓，故特系之禾以决之。又列中、左行如右 行也。〕 术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列 如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。
〔为术之意，令少行减多行，反复相减，则头位必先尽。上无一位，则此行 亦阙一物矣。然而举率以相减，不害余数之课也。若消去头位，则下去一物之实。
如是叠令左右行相减，审其正负，则可得而知。先令右行上禾乘中行，为齐同之 意。为齐同者，谓中行直减右行也。从简易虽不言齐同，以齐同之意观之，其义 然矣。〕 又乘其次，亦以直除。
〔复去左行首。〕 然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。
〔亦令两行相去行之中禾也。〕 左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。
〔上、中禾皆去，故余数是下禾实，非但一秉。欲约众秉之实，当以禾秉数 为法。列此，以下禾之秉数乘两行，以直除，则下禾之位皆决矣。各以其余一位 之秉除其下实。即计数矣用算繁而不省。所以别为法，约也。然犹不如自用其旧。
广异法也。〕 求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。
〔此谓中两禾实，下禾一秉实数先见，将中秉求中禾，其列实以减下实。而 左方下禾虽去一，以法为母，于率不通。故先以法乘，其通而同之。俱令法为母， 而除下禾实。以下禾先见之实令乘下禾秉数，即得下禾一位之列实。减于下实， 则其数是中禾之实也。〕 余，如中禾秉数而一，即中禾之实。
〔余，中禾一位之实也。故以一位秉数约之，乃得一秉之实也。〕 求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。
〔此右行三禾共实，合三位之实。故以二位秉数约之，乃得一秉之实。今中 下禾之实其数并见，令乘右行之禾秉以减之。故亦如前各求列实，以减下实也。〕 余，如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。
〔三实同用，不满法者，以法命之。母、实皆当约之。〕 今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一 斗，与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实一 斗五十二分斗之一十八。下禾一秉实五十二分斗之四十一。
术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。
〔问者之辞虽？今按：实云上禾七秉，下禾二秉，实一十一斗；上禾二秉， 下禾八秉，实九斗也。“损之曰益”，言损一斗，余当一十斗；今欲全其实，当 加所损也。“益之曰损”，言益实以一斗，乃满一十斗；今欲知本实，当减所加， 即得也。〕 损实一斗者，其实过一十斗也；益实一斗者，其实不满一十斗也。
〔重谕损益数者，各以损益之数损益之也。〕 今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中、中取下、下取 上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰上禾一秉实二十五分斗 之九。中禾一秉实二十五分斗之七。下禾一秉实二十五分斗之四。
术曰：如方程。各置所取。
〔置上禾二秉为右行之上，中禾三秉为中行之中，下禾四秉为左行之下，所 取一秉及实一斗各从其位。诸行相借取之物皆依此例。〕 以正负术入之。
正负术曰： 〔今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以邪正为异。
方程自有赤、黑相取，法、实数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤、 黑相消夺之，于算或减或益。同行异位殊为二品，各有并、减之差见于下焉。著 此二条，特系之禾以成此二条之意。故赤、黑相杂足以定上下之程，减、益虽殊 足以通左右之数，差、实虽分足以应同异之率。然则其正无入以负之，负无入以 正之，其率不妄也。〕 同名相除， 〔此谓以赤除赤，以黑除黑，行求相减者，为去头位也。然则头位同名者， 当用此条，头位异名者，当用下条。〕 异名相益， 〔益行减行，当各以其类矣。其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也， 非所得减也。故赤用黑对则除，黑；无对则除，黑；黑用赤对则除，赤；无对则 除，赤；赤黑并于本数。此为相益之，皆所以为消夺。消夺之与减益成一实也。
术本取要，必除行首。至于他位，不嫌多少，故或令相减，或令相并，理无同异 而一也。〕 正无入负之，负无入正之。
〔无入，为无对也。无所得减，则使消夺者居位也。其当以列实或减下实， 而行中正负杂者亦用此条。此条者，同名减实，异名益实，正无入负之，负无入 正之也。〕 其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。
〔此条异名相除为例，故亦与上条互取。凡正负所以记其同异，使二品互相 取而已矣。言负者未必负于少，言正者未必正于多。故每一行之中虽复赤黑异算 无伤。然则可得使头位常相与异名。此条之实兼通矣，遂以二条反覆一率。观其 每与上下互相取位，则随算而言耳，犹一术也。又，本设诸行，欲因成数以相去 耳。故其多少无限，令上下相命而已。若以正负相减，如数有旧增法者，每行可 均之，不但数物左右之也。〕 今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当 下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉五升。下禾一秉二升。
术曰：如方程。置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。
〔言上禾五秉之实多，减其一斗一升，余，是与下禾七秉相当数也。故互其 算，令相折除，以一斗一升为差。为差者，上禾之余实也。〕 次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。
〔按：正负之术，本设列行，物程之数不限多少，必令与实上下相次，而以 每行各自为率。然而或减或益，同行异位，殊为二品，各自并、减，之差见于下 也。〕 今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉；下禾一十五秉，损实五升， 当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实八升。下禾一秉实三 升。
术曰：如方程。置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次，上禾 五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术入之。
〔言上禾六秉之实多，减损其一斗八升，余是与下禾十秉相当之数。故亦互 其算，而以一斗八升为差实。差实者，上禾之余实。〕 今有上禾三秉，益实六斗，当下禾一十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二 秉。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实八斗。下禾一秉实三斗。
术曰：如方程。置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉 负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。
〔言上禾三秉之实少，益其六斗，然后于下禾十秉相当也。故亦互其算，而 以六斗为差实。差实者，下禾之余实。〕 今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？ 答曰：牛一直金一两二十一分两之一十三。羊一直金二十一分两之二十。
术曰：如方程。
〔假令为同齐，头位为牛，当相乘。右行定，更置牛十，羊四，直金二十两； 左行：牛十，羊二十五，直金四十两。牛数等同，金多二十两者，羊差二十一使 之然也。以少行减多行，则牛数尽，惟羊与直金之数见，可得而知也。以小推大， 虽四五行不异也。〕 今有卖牛二，羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三，豕三，以买九羊， 钱适足；卖六羊，八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？答曰 牛价一千二百。羊价五百。豕价三百。
术曰：如方程。置牛二，羊五正，豕一十三负，余钱数正；次，牛三正，羊 九负，豕三正；次五牛负，六羊正，八豕正，不足钱负。以正负术入之。
〔此中行买、卖相折，钱适足，故但互买卖算而已。故下无钱直也。设欲以 此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。是故终于下实虚缺矣。故 注曰正无实负，负无实正，方为类也。方将以别实加适足之数与实物作实。
盈不足章“黄金白银”与此相当。“假令黄金九，白银一十一，称之重适等。
交 易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？”与此同。〕 今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交 而处，衡适平。并 雀、燕重一斤。问雀、燕一枚各重几何？答曰：雀重一两一十九分两之一十三。
燕重一两一十九分两之五。
术曰：如方程。交 易质之，各重八两。
〔此四雀一燕与一雀五燕衡适平，并重一斤，故各八两。列两行程数。左行 头位其数有一者，令右行遍除。亦可令于左行而取其法、实于左。左行数多，以 右行取其数。左头位减尽，中、下位算当燕与实。右行不动。左上空，中法，下 实，即每枚当重宜可知也。按：此四雀一燕与一雀五燕其重等，是三雀、四燕重 相当。雀率重四，燕率重三也。诸再程之率皆可异术求也，即其数也。〕 今有甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。
问甲、乙持钱各几何？答曰：甲持三十七钱半。乙持二十五钱。
术曰：如方程。损益之。
〔此问者言一甲，半乙而五十；太半甲，一乙亦五十也。各以分母乘其全， 内子。行定：二甲，一乙而钱一百；二甲，三乙而钱一百五十。于是乃如方程。
诸物有分者放此。〕 今有二马，一牛，价过一万，如半马之价；一马，二牛，价不满一万，如半 牛之价。问牛、马价各几何？答曰：马价五千四百五十四钱一十一分钱之六。牛 价一千八百一十八钱一十一分钱之二。
术曰：如方程。损益之。
〔此一马半与一牛价直一万也，二牛半与一马亦直一万也。一马半与一牛直 钱一万，通分内子，右行为三马，二牛，直钱二万。二牛半与一马直钱一万，通 分内子，左行为二马，五牛，直钱二万也。〕 今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借 中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各 力引几何？答曰：武马一匹力引二十二石七分石之六。中马一匹力引一十七石七 分石之一。下马一匹力引五石七分石之五。
术曰：如方程。各置所借，以正负术入之。
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠。乙三绠不足，以丙一绠；丙四绠不 足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠。如各得所不足 一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？答曰：井深七丈二尺一寸。甲绠长二丈六尺 五寸。乙绠长一丈九尺一寸。丙绠长一丈四尺八寸。丁绠长一丈二尺九寸。戊绠 长七尺六寸。
术曰：如方程。以正负术入之。
〔此率初如方程为之，名各一逮井。其后，法得七百二十一，实七十六，是 为七百二十一绠而七十六逮井，并用逮之数。以法除实者，而戊一绠逮井之数定， 逮七百二十一分之七十六。是故七百二十一为井深，七十六为戊绠之长，举率以 言之。〕 今有白禾二步，青禾三步，黄禾四步，黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄， 青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。问白、青、黄、黑 禾实一步各几何？答曰：白禾一步实一百一十一分斗之三十三。青禾一步实一百 一十一分斗之二十八。黄禾一步实一百一十一分斗之一十七。黑禾一步实一百一 十一分斗之一十。
术曰：如方程。各置所取，以正负术入之。
今有甲禾二秉，乙禾三秉，丙禾四秉，重皆过于石。甲二重如乙一，乙三重 如丙一，丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何？答曰：甲禾一秉重二十 三分石之一十七。乙禾一秉重二十三分石之一十一。丙禾一秉重二十三分石之一 十。
术曰：如方程。置重过于石之物为负。
〔此问者言甲禾二秉之重过于一石也。其过者何云？如乙一秉重矣。互其算， 令相折除，而一以石为之差实。差实者，如甲禾余实。故置算相与同也。〕 以正负术入之。
〔此入，头位异名相除者，正无入正之，负无入负之也。〕 今有令一人，吏五人，从者一十人，食鸡一十；令一十人，吏一人，从者五 人，食鸡八；令五人，吏一十人，从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几 何？答曰令一人食一百二十二分鸡之四十五。吏一人食一百二十二分鸡之四十一。
从者一人食一百二十二分鸡之九十七。
术曰：如方程。以正负术入之。
今有五羊，四犬，三鸡，二兔，直钱一千四百九十六；四羊，二犬，六鸡， 三兔，直钱一千一百七十五；三羊，一犬，七鸡，五兔，直钱九百五十八；二羊， 三犬，五鸡，一兔，直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何？答曰：羊价 一百七十七。犬价一百二十一。鸡价二十三。兔价二十九。
术曰：如方程。以正负术入之。
今有麻九斗，麦七斗，菽三斗，荅二斗，黍五斗，直钱一百四十；麻七斗， 麦六斗，菽四斗，荅五斗，黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗，麦五斗，菽七斗， 荅六斗，黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗，麦五斗，菽三斗，荅九斗，黍四斗， 直钱一百一十二；麻一斗，麦三斗，菽二斗，荅八斗，黍五斗，直钱九十五。问 一斗直几何？荅曰：麻一斗七钱。麦一斗四钱。菽一斗三钱。荅一斗五钱。黍一 斗六钱。
术曰：如方程。以正负术入之。
〔此麻麦与均输、少广之章重衰、积分皆为大事。其拙于精理徒按本术者， 或用算而布毡，方好烦而喜误，曾不知其非，反欲以多为贵。故其算也，莫不暗 于设通而专于一端。至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约。更有异术者， 庖丁解牛，游刃理间，故能历久其刃如新。夫数，犹刃也，易简用之则动中庖丁 之理。故能和神爱刃，速而寡尤。凡九章为大事，按法皆不尽一百算也。虽布算 不多，然足以算多。世人多以方程为难，或尽布算之象在缀正负而已，未暇以论 其设动无方，斯胶柱调瑟之类。聊复恢演，为作新术，著之于此，将亦启导疑意。
网罗道精，岂传之空言？记其施用之例，著策之数，每举一隅焉。
方程新术曰：以正负术入之。令左、右相减，先去下实，又转去物位，则其 求一行二物正负相借者，是其相当之率。又令二物与他行互相去取，转其二物相 借之数，即皆相当之率也。各据二物相当之率，对易其数，即各当之率也。更置 成行及其下实，各以其物本率今有之，求其所同。并，以为法。其当相并而行中 正负杂者，同名相从，异名相消，余，以为法。以下置为实。实如法，即合所问 也。一物各以本率今有之，即皆合所问也。率不通者，齐之。
其一术曰：置群物通率为列衰。更置成行群物之数，各以其率乘之，并，以 为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余为法。以成行下实乘 列衰，各自为实。实如法而一，即得。
以旧术为之。凡应置五行。今欲要约，先置第三行，减以第四行，又减第五 行；次置第二行，以第二行减第一行，又减第四行。去其头位；余，可半；次置 右行及第二行。去其头位；次以右行去第四行头位，次以左行去第二行头位，次 以第五行去第一行头位；次以第二行去第四行头位；余，可半；以右行去第二行 头位，以第二行去第四行头位。余，约之为法、实。实如法而一，得六，即有黍 价。以法治第二行，得荅价，右行得菽价，左行得麦价，第三行麻价。如此凡用 七十七算。
以新术为此。先以第四行减第三行；次以第三行去右行及第二行、第四行下 位，又以减左行下位，不足减乃止；次以左行减第三行下位，次以第三行去左行 下位。讫，废去第三行。次以第四行去左行下位，又以减右行下位；次以右行去 第二行及第四行下位；次以第二行减第四行及左行头位；次以第四行减左行菽位， 不足减乃止；次以左行减第二行头位，余，可再半；次以第四行去左行及第二行 头位，次以第二行去左行头位，余，约之，上得五，下得三，是菽五当荅；次以 左行去第二行菽位，又以减第四行及右行菽位，不足减乃止；次以右行减第二行 头位，不足减乃止；次以第二行去右行头位，次以左行去右行头位；余，上得六， 下得五，是为荅六当黍五；次以左行去右行荅位，余，约之，上为二，下为一； 次以右行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以减左行下位；次，左行去 第二行下位，余，上得三，下得四，是为麦三当菽四；次以第二行减第四行下位； 次以第四行去第二行下位；余，上得四，下得七，是为麻四当麦七。是为相当之 率举矣。据麻四当麦七，即麻价率七而麦价率四；又麦三当菽四，即为麦价率四 而菽价率三；又菽五当荅三，即为菽价率三而荅价率五；又荅六当黍五，即为荅 价率五而黍价率六；而率通矣。更置第三行，以第四行减之，余有麻一斗，菽四 斗正，荅三斗负，下实四正。求其同为麻之数，以菽率三、荅率五各乘其斗数， 如麻率七而一，菽得一斗七分斗之五正，荅得二斗七分斗之一负。则菽、荅化为 麻。以并之，令同名相从，异名相消，余得定麻七分斗之四，以为法。置四为实， 而分母乘之，实得二十八，而分子化为法矣以法除得七，即麻一斗之价。置麦率 四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自为实。以麻率七为法。所得即 各为价。亦可使置本行实与物同通之，各以本率今有之，求其本率所得。并， 以为法。如此，即无正负之异矣，择异同而已。又可以一术为之。置五行通率， 为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六，以为列衰。成行麻一斗，菽四斗正，荅三斗 负，各以其率乘之。讫，令同名相从，异名相消，余为法。又置下实乘列衰，所 得各为实。此可以置约法，则不复乘列衰，各以列衰为价。如此则凡用一百二十 四算也。〕
○句股（以御高深广远） 今有句三尺，股四尺，问为弦几何？答曰：五尺。
今有弦五尺，句三尺，问为股几何？答曰：四尺。
今有股四尺，弦五尺，问为句几何？答曰：三尺。
句股 〔短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦。句短其股，股短其弦。将以施于诸 率，故先具此术以见其源也。〕 术曰：句、股各自乘，并，而开方除之，即弦。
〔句自乘为朱方，股自乘为青方。令出入相补，各从其类，因就其余不移动 也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。〕 又，股自乘，以减弦自乘。其余，开方除之，即句。
〔淳风等按：此术以句、股幂合成弦幂。句方于内，则句短于股。令股自乘， 以减弦自乘，余者即句幂也。故开方除之，即句也。〕 又，句自乘，以减弦自乘。其余，开方除之，即股。
〔句、股幂合以成弦幂，令去其一，则余在者皆可得而知之。〕 今有圆材，径二尺五寸。欲为方版，令厚七寸，问广几何？答曰：二尺四寸。
术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘，减之。其余，开方除之，即广。
〔此以圆径二尺五寸为弦，版厚七寸为句，所求广为股也。〕 今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？ 答曰：二丈九尺。
术曰：以七周乘围为股，木长为句，为之求弦。弦者，葛之长。
〔据围广，求从为木长者其形葛卷裹袤。以笔管，青线宛转，有似葛之缠木。
解而观之，则每周之间自有相间成句股弦。则其间葛长，弦。七周乘围，并合众 句以为一句；木长而股，短；术云木长谓之股，言之倒。句与股求弦，亦无围。
弦之自乘幂出上第一图。句、股幂合为弦幂，明矣。然二幂之数谓倒在于弦幂之 中而已。可更相表里，居里者则成方幂，其居表者则成矩幂。二表里形讹而数均。
又按：此图句幂之矩青，卷白表，是其幂以股弦差为广，股弦并为袤，而股幂方 其里。股幂之矩青，卷白表，是其幂以句弦差为广，句弦并为袤，而句幂方其里。
是故差之与并用除之，短、长互相乘也。〕 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭 长各几何？答曰：水深一丈二尺。葭长一丈三尺。
术曰：半池方自乘， 〔此以池方半之，得五尺为句；水深为股；葭长为弦。以句、弦见股，故令 句自乘，先见矩幂也。〕 以出水一尺自乘，减之。
〔出水者，股弦差。减此差幂于矩幂则除之。〕 余，倍出水除之，即得水深。
〔差为矩幂之广，水深是股。令此幂得出水一尺为长，故为矩而得葭长也。〕 加出水数，得葭长。
〔淳风等按：此葭本出水一尺，既见水深，故加出水尺数而得葭长也。〕 今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何？ 答曰：一丈二尺六分尺之一。
术曰：以去本自乘， 〔此以去本八尺为句，所求索者，弦也。引而索尽、开门去阃者，句及股弦 差，同一术。去本自乘者，先张矩幂。〕 令如委数而一。
〔委地者，股弦差也。以除矩幂，即是股弦并也。〕 所得，加委地数而半之，即索长。
〔子不可半者，倍其母。加差者并，则两长。故又半之。其减差者并，而半 之，得木长也。〕 今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木长几 何？答曰：五丈五寸。
术曰：以垣高一十尺自乘，如却行尺数而一。所得，以加却行尺数而半之， 即木长数。
〔此以垣高一丈为句，所求倚木者为弦，引却行一尺为股弦差。为术之意与 系索问同也。〕 今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？ 答曰：材径二尺六寸。
术曰：半锯道自乘， 〔此术以锯道一尺为句，材径为弦，锯深一寸为股弦差之一半。锯道长是半 也。
淳风等按：下锯深得一寸为半股弦差。注云为股差差者，锯道也。〕 如深寸而一，以深寸增之，即材径。
〔亦以半增之。如上术，本当半之，今此皆同半，故不复半也。〕 今有开门去阃一尺，不合二寸。问门广几何？答曰：一丈一寸。
术曰：以去阃一尺自乘。所得，以不合二寸半之而一。所得，增不合之半， 即得门广。
〔此去阃一尺为句，半门广为弦，不合二寸以半之，得一寸为股弦差。求弦， 故当半之。今次以两弦为广数，故不复半之也。〕 今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？答曰：广 二尺八寸。高九尺六寸。
术曰：令一丈自乘为实。半相多，令自乘，倍之，减实。半其余，以开方除 之。所得，减相多之半，即户广；加相多之半，即户高。
〔令户广为句，高为股，两隅相去一丈为弦，高多于广六尺八寸为句股差。
按图为位，弦幂适满万寸。倍之，减句股差幂，开方除之。其所得即高广并数。
以差减并而半之，即户广。加相多之数，即户高也。今此术先求其半。一丈自乘 为朱幂四、黄幂一。半差自乘，又倍之，为黄幂四分之二，减实，半其余，有朱 幂二、黄幂四分之一。其于大方者四分之一。故开方除之，得高广并数半。减差 半，得广；加，得户高。又按：此图幂：句股相并幂而加其差幂，亦减弦幂，为 积。盖先见其弦，然后知其句与股。今适等，自乘，亦各为方，合为弦幂。令半 相多而自乘，倍之，又半并自乘，倍之，亦合为弦幂。而差数无者，此各自乘之， 而与相乘数，各为门实。及股长句短，同源而分流焉。假令句、股各五，弦幂五 十，开方除之，得七尺，有余一，不尽。假令弦十，其幂有百，半之为句、股二 幂，各得五十，当亦不可开。故曰：圆三、径一，方五、斜七，虽不正得尽理， 亦可言相近耳。其句股合而自相乘之幂者，令弦自乘，倍之，为两弦幂，以减之， 其余，开方除之，为句股差。加于合而半，为股；减差于合而半之，为句。句、 股、弦即高、广、邪。其出此图也，其倍弦为袤。令矩句即为幂，得广即句股差。
其矩句之幂，倍句为从法，开之亦句股差。以句股差幂减弦幂，半其余，差为从 法，开方除之，即句也。〕 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？答曰：四尺二十分尺 之一十一。
术曰：以去本自乘， 〔此去本三尺为句，折之余高为股，以先令句自乘之幂。〕 令如高而一。
〔凡为高一丈为股弦并，以除此幂得差。〕 所得，以减竹高而半余，即折者之高也。
〔此术与系索之类更相反覆也。亦可如上术，令高自乘为股弦并幂，去本自 乘为矩幂，减之，余为实。倍高为法，则得折之高数也。〕 今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而斜东北与乙 会。问甲、乙行各几何？答曰：乙东行一十步半，甲斜行一十四步半及之。
术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲斜行率。斜行率减于七自乘， 余为南行率。以三乘七为乙东行率。
〔此以南行为句，东行为股，斜行为弦，并句弦率七。欲引者，当以股率自 乘为幂，如并而一，所得为句弦差率。加并之半为弦率，以差率减，余为句率。
如是或有分，当通而约之乃定。术以同使无分母，故令句弦并自乘为朱、黄相连 之方。股自乘为青幂之矩，以句弦并为袤，差为广。今有相引之直，加损同上。
其图大体以两弦为袤，句弦并为广。引黄断其半为弦率。列用率七自乘者，句弦 并之率。故弦减之，余为句率。同立处是中停也，皆句弦并为率，故亦以句率同 其袤也。〕 置南行十步，以甲斜行率乘之；副置十步，以乙东行率乘之；各自为实。实 如南行率而一，各得行数。
〔南行十步者，所有见句求见弦、股，故以弦、股率乘，如句率而一。〕 今有句五步，股十二步。问句中容方几何？答曰：方三步十七分步之九。
术曰：并句、股为法，句、股相乘为实。实如法而一，得方一步。
〔句、股相乘为朱、青、黄幂各二。令黄幂袤于隅中，朱、青各以其类，令 从其两径，共成修之幂：中方黄为广，并句、股为袤。故并句、股为法。幂图： 方在句中，则方之两廉各自成小句股，而其相与之势不失本率也。句面之小句、 股，股面之小句、股各并为中率，令股为中率，并句、股为率，据见句五步而今 有之，得中方也。复令句为中率，以并句、股为率，据见股十二步而今有之，则 中方又可知。此则虽不效而法，实有法由生矣。下容圆率而似今有、衰分言之， 可以见之也。〕 今有句八步，股一十五步。问句中容圆径几何？答曰：六步。
术曰：八步为句，十五步为股，为之求弦。三位并之为法。以句乘股，倍之 为实。实如法，得径一步。
〔句、股相乘为图本体，朱、青、黄幂各二。倍之，则为各四。可用画于小 纸，分裁邪正之会，令颠倒相补，各以类合，成修幂：圆径为广，并句、股、弦 为袤。故并句、股、弦以为法。又以圆大体言之，股中青必令立规于横广，句、 股又邪三径均。而复连规，从横量度句、股，必合而成小方矣。又画中弦以规 除会，则句、股之面中央小句股弦：句之小股、股之小句皆小方之面，皆圆径之 半。其数故可衰。以句、股、弦为列衰，副并为法。以句乘未并者，各自为实。
实如法而一，得句面之小股可知也。以股乘列衰为实，则得股面之小句可知。言 虽异矣，及其所以成法之实，则同归矣。则圆径又可以表之差并：句弦差减股 为圆径；又，弦减句股并，余为圆径；以句弦差乘股弦差而倍之，开方除之，亦 圆径也。〕 今有邑方二百步，各中开门。出东门一十五步有木。问出南门几何步而见木？ 答曰：六百六十六步大半步。
术曰：出东门步数为法， 〔以句率为法也。〕 半邑方自乘为实，实如法得一步。
〔此以出东门十五步为句率，东门南至隅一百步为股率，南门东至隅一百步 为见句步。欲以见句求股，以为出南门数。正合半邑方自乘者，股率当乘见句， 此二者数同也。〕 今有邑东西七里，南北九里，各中开门。出东门一十五里有木。问出南门几 何步而见木？答曰：三百一十五步。
术曰：东门南至隅步数，以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实 如法而一。
〔此以东门南至隅四里半为句率，出东门一十五里为股率，南门东至隅三里 半为见股。所问出南门即见股之句。为术之意，与上同也。〕 今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。
问邑方几何？答曰：一里。
术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方。
〔按：半邑方，令半方自乘，出门除之，即步。令二出门相乘，故为半方邑 自乘，居一隅之积分。因而四之，即得四隅之积分。故为实，开方除，即邑方也。〕 今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木，出南门一十四步，折而 西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？答曰：二百五十步。
术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。
〔此以折而西行为股，自木至邑南一十四步为句，以出北门二十步为句率， 北门至西隅为股率，半广数。故以出北门乘折西行股，以股率乘句之幂。然此幂 居半，以西行。故又倍之，合东，尽之也。〕 并出南、北门步数，为从法，开方除之，即邑方。
〔此术之幂，东西如邑方，南北自木尽邑南十四步之幂，各南北步为广，邑 方为袤，故连两广为从法，并，以为隅外之幂也。〕 今有邑方一十里，各中开门。甲、乙俱从邑中央而出：乙东出；甲南出，出 门不知步数，邪向东北，磨邑隅，适与乙会。率：甲行五，乙行三。问甲、乙行 各几何？答曰：甲出南门八百步，邪东北行四千八百八十七步半，及乙。乙东行 四千三百一十二步半。
术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率；邪行率减于五自乘者， 余为南行率；以三乘五为乙东行率。
〔求三率之意与上甲乙同。〕 置邑方，半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数。
〔今半方，南门东至隅五里。半邑者，谓为小股也。求以为出南门步数。故 置邑方，半之，以南行句率乘之，如股率而一。〕 以增邑方半，即南行。
〔半邑者，谓从邑心中停也。〕 置南行步，求弦者，以邪行率乘之；求东行者，以东行率乘之，各自为实。
实如法，南行率，得一步。
〔此术与上甲乙同。〕 今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后 右表望之，入前右表三寸。问木去人几何？答曰：三十三丈三尺三寸少半寸。
术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一。
〔此以入前右表三寸为句率，右两表相去一丈为股率，左右两表相去一丈为 见句。所问木去人者，见句之股。股率当乘见句，此二率俱一丈，故曰自乘之。
以三寸为法。实如法得一寸。〕 今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里， 望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何？答曰：一百六十四丈九尺六寸 太半寸。
术曰：置木高，减人目高七尺， 〔此以木高减人目高七尺，余有八丈八尺，为句率；去人目三里为股率；山 去木五十三里为见股，以求句。加木之高，故为山高也。〕 余，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一。所得，加木高， 即山高。
〔此术句股之义。〕 今有井，径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。
问井深几何？答曰：五丈七尺五寸。
术曰：置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实。以入径四寸 为法。实如法得一寸。
〔此以入径四寸为句率，立木五尺为股率，井径之余四尺六寸为见句。问井 深者，见句之股也。〕 今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。
问户高、广、邪各几何？答曰：广六尺。高八尺。邪一丈。
术曰：从、横不出相乘，倍，而开方除之。所得，加从不出，即户广； 〔此以户广为句，户高为股，户邪为弦。凡句之在股，或矩于表，或方于里。
连之者举表矩而端之。又从句方里令为青矩之表，未满黄方。满此方则两端之邪 重于隅中，各以股弦差为广，句弦差为袤。故两端差相乘，又倍之，则成黄方之 幂。开方除之，得黄方之面。其外之青知，亦以股弦差为广。故以股弦差加，则 为句也。〕 加横不出，即户高；两不出加之，得户邪。