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（表略）
（表略）
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△治历本末
自《三统术》以后七十余家，至郭守敬之《授时》，测验愈精，析理愈微，立数俞简信，可谓度越前古者矣。然曰月星辰之高远，而以一人之智力穷之，欲其事事物合，永无差忒，此必不可得之数也。明之《大统》，实本《授时》，至成化以后，交食已往往不验。
皇朝宣城梅文鼎、婺源江水，皆深通数理。其生时《授时》疏舛凡数事：一曰增损岁余、岁差。一岁小余，古强今弱，一由日轮径差，一由最卑动移。《授时》考古，则增岁余而损岁差；推来，则增岁差而损岁余。乃末得其根，而以法迁就之。似密实疏，不足为法。一曰岁实消长。天行盈缩，进退以渐，无骤增、骤减之理。《授时》百年消长一分，是百年之内皆无所差，逾一年则骤增减一分，又积百年则平差一分，逾一年又骤增减一分，无此推算之法。一曰二十四气用恒气。当时高冲与冬至同度，最高与夏至同度，冬至为盈初，夏至为缩初，以为盈缩之常限如此。故以两冬至相距之日，均为二十四气，谓合于天之平分数也。设如五十余年之后，高卑两点各东移一度，则平冬至与定冬至不相值，及其极也，平冬至与定冬至相差两日，犹能以两定冬至相距之日，均为二十四气乎？且其求冬至也，自丙子年立冬后。依每日测景取对冬至前后日差同者为准，得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻，又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻，庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻，辛已冬至在己末日夜半后六刻。其求岁余也，自宋大明以来得冬至时刻真数者有六，用以相距，各得其时，合用岁余，考验四年相符不差，仍自大明壬寅年距今八百一十九年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分，减大明术一十二秒，其二十五分为今律岁余合用之数。以此二事考之，则《授时》当年所定之岁实，已有微差。稽之于史，又多牴牾。夫一岁小余二十四刻二十五分，积之四岁王得九十七刻。丁丑冬至在戊戌日夜半后八刻，则辛巳冬至宜在己未夜半后五刻，不应有六刻也。如以辛巳之六刻为是，则丁丑之冬至宜在九刻，不应为八刻半也。此四年既皆实测所得，则已多半刻矣。而云相符不差，何也？又考大明五年十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分辰初三刻冬至。大明壬寅下距至元辛巳八百一十九年，以《授时》岁实积之，凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分，以乙酉辰初三刻距己未丑初二刻，凡二十九万九千一百三十三日九十二刻，较多三十三刻。而云自大明壬寅距今每岁合得此数，何也？又云减大明术一十一秒。考大明术纪法与周天一岁小余二十四刻二十八分一十四秒。《授时》减去三分一十四秒，非一十一秒也。又古时太阳本轮、均轮半径之差，大于今日，则加减均数亦大。而冬至岁实宜更增矣。至元辛巳间高冲约与冬至同度，则岁实尤大，其小余刻下之分约有三十分。而《授时》定为二十五分，宜其自丁丑至于辛巳四年之间，即有年刻之差，而守敬未之觉也。
凡此数事，皆足订《授时》之误。今撮大要著于篇，以备治历者之参考焉。
至《授时》用平方、立方以求盈缩迟疾差，犹开方之旧术，用天元一御弧矢起数于围三径一，亦失之疏。若以弦矢求弧背，前后失均，象限以内差而多，象限以外差而少，此又不能为前人讳者也。
《历经》、《历议》，皆守敬所撰。世祖招李谦为《历议》，润色其书而已，谦不能作也。札马鲁丁之《万年历》，实即明人所用之回回历，《明史》详矣，不具论。
蒙古初无历法。太祖十五年，驻跸撒马尔干城，回鹘人奏五月望月蚀。中书令耶律楚材以《大明历》推之，太阴当亏二分，食甚在子正，乃未尽初更而月已蚀。是年二月、五月朔，微月见于西南。楚材以旧历不验，遂别造《庚午元历》。据《大明历》减周天七十三秒，岁差亦减七十三秒。以中元庚午岁，国兵南伐，天下略定，推上元庚午岁天正十一月壬戌朔子王冬至，为太祖受命之符。又以西域、中原地逾万里，依唐僧一行里差之说，以增损之。东西测侯，不复差式。乃表上于行在曰：“汉、唐以来，经元创法不啻百家，其气候之早晏，朔望之疾徐，二曜之盈衰，五星之起伏，疏密无定，先后不同。盖都邑之各殊，或历年之渐远，不得不差也。唐历八徒，宋历九更，金《大明历》百年才经一改。此去中原万里，以昔程今，昔密今疏，东微西著。今二月、五月朔，微月见于西南，较之于历，悉为先天。”自汉、唐以来历算之书备矣。俱无此说。是年正月、四月虽皆为小尽，然亦未有朔日见月者也。是时，太祖方用兵西域，其书不果颁用。
楚材尝言，西域历五星密于中国，又作《麻荅历》，今不传。楚材父履在金末作《乙未元历》，楚才益本其文之书，更名为《庚午元历》云。
至世祖至元四年，西域人札马鲁丁用回回法撰《万年历》，帝稍采用之。其法为默特纳国王马哈麻所造历，元起西域阿刺必年，即随开皇己未，不置闰月，以三百六十五日为一岁。岁十二宫，宫有闰日，凡百二十八年宫闰三十一日，以三百五十四日为一周，周十二月，月有闰日，凡三十年月闰十一日。历千九百四十一年，宫月日辰再会。此其立法之大概也。
十三年，世祖平宋，诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、工部郎中郭守敬，立局改治新历。先是，太保刘秉忠以《大明历》辽、金承用岁久，浸以后天，议修正之。已而秉忠卒，事遂寝。至是，世祖思用其言，遂命询与守敬率南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨源、王素、岳铉、高敬等，分掌测验、推步，以衡能推明历理，俾参预之。
守敬首言：“历之本在于测验，而测验之器莫先仪表。今司天浑仪，宋皇佑中汴京所造，不与此处天度相符，比量南北二极，约差四度。表百年深，亦复欹侧不可用。”乃尽考其失，而移置之。既又别图爽垲，以木为重棚，创作简仪、高表，用相比覆。又以为天枢附极而动，昔人尝展管望之，末得其的，作候极仪。极辰既位，天体斯正，作浑天象。象虽形似，莫适所用，作玲珑仪。以表之测天之正圆，莫若以圆求圆，作仰仪。古有经纬，结而不动，守敬则易之，作立运仪。日有中道，月有九行，守敬则一之，作证理仪。表高景虚，罔象非真，作景符。月虽有明，察景则难，作窥几。历法之验，在于交会，作日月食仪。天有赤道，轮以当之，两极低昂，标以指之，作星晷定时仪。以上凡十三等。又作正方案、九表、悬正仪、座正仪，凡四等，为四方行测者所用。又作仰规、覆矩图、异方、浑盖图、日出入永短图，凡五等，与上诸仪互相参考。
十六年，改局为太史院，以赞善王恂为太史令，守敬为同知太史院事，给印章，立官府。是年，奏进仪表式样，守敬对御指陈理致，一一周悉。自朝至于日晏，上不为倦。
守敬奏：唐一行开元间令天下测景，书中见者凡十三处。今疆宇比唐尤大，苦不远方测验，日月交食分数时刻不同，昼夜长短不同，日月星辰去天高下不同；可先南北立表，取直测景。上可其奏。遂设监候官一十四员，分道相继而出。
先测得：南海：北极出地一十五度。夏至景在表南长一尺一寸六分，昼五十四刻，夜四十六刻。衡岳：北极出地二十五度。夏至日在表端无景，昼五十六刻，夜四十四刻。岳台：北极出地三十五度，夏至景长一尺四寸八分，昼六十刻，夜四十刻。和林：北极出地四十五度，夏至景长三尺二寸四分，昼六十四刻，夜三十六刻。铁勒：北极出地五十五度，夏至景长五尺一分，昼七十刻，夜三十刻。北海：北极出地六十五度，二至景长六尺七寸八分，昼八十二刻，夜一十八刻。继又测得：上都：北极出地四十三度少。大部：北极出地四十二度强，夏至晷景长一丈二尺三寸六分，昼六十二刻，夜三十二刻。益部：北极出地三十七度少。登州：北极出地三十八度少。高丽：北极出地三十八度少。西京：北极出地四十度少。太原：北极出地三十八度少。安西府：北极出地三十四度半强。兴元：北极出地三十三度半强。成都：北极出地三十一度半强。西凉州：北极出地四十度强。东平：北极出地三十五度太强。大名：北极出地三十六度。南京：北极出地三十四度太强。阳城：北极出地三十四度太。扬州：北极出地三十三度。鄂州：北极出地三十一度半。吉州：北极出地二十六度半。雷州：北极出地二十度太。琼州：北极出地十九度太。
十七年，新历告成。守敬上奏曰：
臣等窃闻帝王之事，莫重于历。自黄帝迎日推策，帝尧以闰月定四时成岁，舜在璇玑玉衡以齐七政。爰及三代，历无定法，周秦之间，闰余乖次。西汉造《三统历》，百三十年而后是非始定。东汉造《四分历》，七十余年而仪式备。叉百二十一年，刘洪造《乾象历》，始悟月行有迟速。又百八十年，姜岌造《三纪甲子历》，始悟以月食冲检日宿度所在。又五十七年，何承天造《元嘉历》，始悟以朔望及弦定大小余。又六十五年，祖冲之造《大明历》，始悟太阳有岁差之数，极星去不动处一度余。又五十二年，张子信始悟日月交道有表里，五星有迟疾留逆。又三十三年，刘焯造《皇极历》，始悟日行有盈缩。又三十五年，傅仁均造《戊寅元历》，颇采旧仪，始用定朔。又四十六年，李淳风造《麟德历》，以古历章?元首分度不齐，始为总法，用迸朔以避晦晨月见。又六十三年，僧一行造《大衍历》，始以朔有四大三小，定九服交食之异。又九十四年，徐昂造《宣明历》，始悟日食有气刻时三差。又二百三十六年，姚舜辅造《纪元历》，始悟食甚泛余差数。以上计千一百八十二年，历经七十，改其创法者十有三家。
自是又百七十四年，钦惟圣朝统一六合，肇造区夏，专命臣等改治新历。臣等用创造简仪、高表，凭其测到实数所考正者凡七事：一曰冬至。自丙子年立冬后，依每日测到晷景，逐日取对，冬至前后日差同者为准，得丁丑年冬至在戌日夜半后八刻半。又定丁丑夏至，得在庚子日夜半后七十刻。又定戊寅冬至，在癸卯日夜半后三十三刻；己卯冬至、在戊申日夜半后五十七刻半；庚辰冬至，在癸丑日夜半后八十一刻半。各减大明历十八刻，远近阳符，前后应准。二曰岁余。自刘宋《大明历》以来，凡测景验气得冬至时刻真数者有六，用以阳距，各得其时合用岁余。今考验四年，相符不差。仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分。其二十五分为今历岁余合用之数。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道箕九度有畸。仍凭每日测到太阳躔度，或凭星测月，或凭月测日，或径凭星度测日，立术推算。起自丁丑正月，至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔于箕，与月食相符。四曰月离。自丁丑以来至今，凭每日测得逐时太阴行度推算变，从黄道求入转极疾并平行处，前后凡十三转。计五十一事，内除去不真的外，有三十事。得大明历入转后天，又因考验交食加大明历三十刻，与天道合。五曰入交。自丁丑五月以来，凭每日测到太阴去极度数，比拟黄道去极度，得月道交于黄道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分得入时刻，与大明所差不多。六曰二十八宿距度。自汉代初历以来，距度不同，互有损益。大明历则于度下余分附以太半少，皆私意牵就，未尝实测其数，今新仪皆细刻周天度分，每度为三十六分，以距线代管窥宿度余分，并依实测，不以私意牵就。七曰日出入昼夜刻。《大明历》日出入昼夜刻，皆据汁京为准，其刻数与大都不同。今更以本方北极出地高下、黄道出入内外度，立术推求每日日出入昼夜刻，得夏至极长，日出寅正二刻，日入戌初二刻，昼六十二刻，夜三十八刻，冬至极短，日出辰初二刻，日入申正二刻，昼三十八刻，夜六十二刻；永为定式。
所创法凡五事：一曰太阳盈缩。用四正定气立为升降艰，立招差求得每日行分初末极差积度，比古为密。二曰月行迟疾。古历皆用二十八限，今以万分日之八百二十分为一限，凡析为三百三十六限，依垛叠招差，求得转分进退，其迟疾度数逐时不用，盖前所未有。三曰黄赤道差。旧法以一百一度相减相乘。今依算术勾股弧矢方圆斜直所容，求到度率积差差率，与天道实为吻合。四曰黄赤道内外度。据累年实测内外极度二十三度九十分，以圆容方直矢接勾股为法求每日去极，与所测相符。五曰白道交周。旧法黄道变推白道，以斜求斜。今用立浑比量，得用与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分，拟以为法。推逐月每交二十八宿度分，于理为尽。
诏赐名曰授时历。十八年，颁新历于天下。
十九年，守敬以推步之式与立成之数皆无定稿，乃著《推步》七卷、《立成》二卷、《历议拟稿》三卷、《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷，表上之。二十年，又诏太子谕德李谦就守敬之《历议稿》重加修订，以阐新历顺天求合之理。
大德三年八月朔，时加巳依新历日食二分有奇，至其时不应，台官皆惧。保章正齐履谦曰：“日当食不食，古有之。况时近午，阳盛阴微，宜当食不食。”遂考唐开元以来当食不食者凡十事以闻。六年六月朔，时加戌依新历日食五十七秒，众以涉交既浅，且近浊，欲匿不报。履谦曰：“吾所掌者常数也。其食与否，则系于天。”独以状闻。及其时，果食。盖高远难穷之事，必积时累验，乃见端倪。《授时历》推日食之法，较前之十三家最密矣，然尚不能无数刻之差。故元之一代，日食四十有五，推食而不食者一，食而失推者一，夜食而误昼者一。履谦谓：食与否系于天，足犹泥前人当食不食，不当食而食之谬说，诬莫甚矣。
泰定间，履谦为太史院使，以《授时历》行五十年未尝推考，乃日测晷景并晨昏五星宿度，自至治三年冬至、泰定二年夏至天道加时真数，各减见行历书二刻，撰《二至晷景考》二卷。《授时》虽有经串，而经以著定法，串以纪成数；求共法之所以然，数之所从出，则略而不详；作《经串演说》八卷，以发明其蕴焉。
时鄱阳人赵友钦推演《授时》之理，著《革象新书》五卷，号为新历之学。
其《历法改革篇》曰：“历法由古及今，六十余术矣。汉太初粗为可取，然犹疏略未密。唐一行作大衍术，当时以为密矣，以今观之，犹自甚疏。盖岁浅则差少未觉，久而积差渐多，不容不改，要当随时测验，以求真数。
其《日道岁差篇》曰：“统天术谓周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒，周岁三百六十五日二十四分二十五秒，百年差一度半，然又谓周岁渐渐不同，上古岁策多，后世岁策少，如此则上古岁差少，后世岁差多。当今术法謜之，立减加岁策之法，上考往古，百年加一秒，下验将来，百年减一秒。”
其《黄道损益篇》曰：“二至之日，黄道平其度，敛狭每度约得十之九二分，斜行赤道之交。今之授时术步得冬至日躔箕宿。以此知寅申度数最少，己亥度数最多，其余则多寡稍近。
其《积年日法篇》曰：“前代造术者，逆求往古门上元，求其积年总会，是以必立日法。然有所谓截元术，但将推步定数为顺算逆考，不求其齐。当今授时术采旧术截元之术，凡积年日法皆所不取。
其《日月盈缩筒》曰：“月行十三度余十九之七，然或先期，或后期，有差至四五度者，后汉刘洪始考究之，知月有盈缩。隋之刘焯始觉太阳亦有盈缩，最多之时在于春秋二分，均差两度有余。李淳风有推步月孛法，谓六十二日行七度，六十二年七周天。所谓孛者，乃彗星之一种光芒，偏槊者则谓之彗，光芒四出如浑圆者乃谓之孛。然孛以月为名者，孛之所在，太阴所行最迟，太阴在孛星对冲处则所行最疾。孛星不常见，止以太阴所行最迟处测之。
其《月有九道篇》曰：“月行出入黄道之内外，远于黄道处六度二分。月道与黄道相交处在二交之始，名曰罗喉，交之中，名曰计都。自交初至于交中，月在黄道外，名曰阳限。自交中至于交出，月在黄道内，名曰阴限。所谓九行者，当以画图比之。四图各两黄道，似一圆环，俱于环南定为夏至。环北定为冬至，环西定为春分，环东定为秋分。将一图画为青追，与黄道交于南北，南交为罗，北交为计。其青道二边入在黄道西之东，是内青道；一边出在黄道东之东，是外青道。又将一图画白道，亦与黄道交于南北，南交为计，北交为罗。其白道一边入在黄道东之西，是内白道；一边出在黄道西之西，是外白道。又将一图画朱道，与黄道交于东西，东交为计，西交为罗。其朱道一边入黄道之南，是内朱道，一边出在黄道南之南，是外朱道。又将一图画黑道，亦与黄道交于东西，东交为罗，西交为计。其黑道一边入在黄道南之北，是内黑道；一边出在黄道北之北，是外黑道。此虽画四图，然四图之八道止是一道也。本八道而曰九行者，以北道之行，交于黄道，故道以九言也。八道常变易，不可置于浑仪上，亦不得画于星图。所可具者黄、赤二道耳。欲别于黄，故涂以赤。赤道近八道皆相交远近。朱道止十八度远，黑道至三十度远，青白二道约二十四度远。”
其《地域远近篇》曰：“古者立八尺之表，以验四时日景。地中夏至，景在表北一尺六寸，冬至，景在表北一丈三尺。南至交广，北至铁勒等处验之，俱各不同。表高八尺，似失之短。至元以来，表长四丈，诚万古之定法也。所谓土圭者，自古有之。然地上天多早晚，太阳与人相近，则景移必疾；日午与人相远，则景移必迟。世间土圭均画而已，岂免午侵己未，而早晚时刻俱差。地中差已如是，若以八方偏地验之，土圭之不可准尤为显。然偏东者，早景疾，而晚景迟，午景先至；偏西者，早景迟，而晚景疾，午景后期；偏北者，少其画，而景迟；偏南者，多其画，而景疾。若南越短，景南指，而子午反复，则又讹逆甚矣。”其《日月薄食篇》曰：“日之圆，体大，月之圆，体小。日道之周围亦大，月道之周围亦小。日道距天较近，月道距天较远。日月之体与所行之道，虽有少广之差，然月与人相近，日与人相远。故月体因近视而可比日道之广，日食、月食当以天度经纬而推。同经不同纬，止曰合朔。同经同纬合朔，而有食矣。人望日体，见为月之黑体所障，故云日食。然日体未尝有损，所谓食者，强名而已。日月对躔，而望若不当二交前后，则不食。望在二交前后，则必食。或既或不既，当以距交远近而推。日月之圆径相倍。日径一度，月径止得日径之半，然在于近视，亦准一度。是犹省秤出于复秤，斤两虽同，其实则有轻重之异。日之圆径倍于月，则暗虚之圆径亦倍于月。月既准一度，则暗虚广二度矣。月食分数止以距交近远而论，别无四时加试。八方所见食分并同。日食则不然，旧历云：假令中国食既戴，日之下所亏才半，化外反观，则交而不食。何以言之？日月如大小二球，共悬一索。日上、月下，相去稍远，人在其下正望之，黑球遮尽赤球，比若食既。若傍视，则分远近之差，即食数有多寡也。”
其《五纬距合篇》曰：“古者止知五纬距度，未知有变数之加减。北齐张子信仰观岁久，始知五纬又有盈缩之变，当加减常数以求其逐日之躔。所以然者，盖五纬不由黄道，亦不由月之九道。乃出入黄道内外，各自有其道。视太阳远近而迟疾者，如足力之勤倦又有变数之加减者。比如道里之径直斜曲。其《勾股测天篇》曰：“古人测景，千里一寸之差，犹未亲切。今别定表之制度，并述元有算法。就地中各去南北数百里，仍不偏于东西，俱立一表，约高四丈。于表首下数寸作一方窍，外广而内狭，当中薄如连边，两旁如侧置漏底之碗，形圆而窍方。以南北表景之数相减余，名景差。两表相距里路，各乘南北表景，各如景差而一即得。二表各与戴日之地相距数日，平远各以表景加之，所得各以表高乘之，各如表景而一即得。日轮顶与戴日地相距数，以南北表景各加平远所得自乘，名勾幂。日高自乘，名股幂。两幂相并，名弦幂。开为平方，名曰日远。乃南北表窍之景距日斜远也。
其《乾象周髀篇》曰：“古人谓圆径一尺，周围三尺。后世考究则不然。圆一而周三，则尚有余；围三而径一，则为不足。盖围三径一，是六角之用也。或谓圆径一尺，周围三尺一寸四分；或谓圆径七尺，周围二十二尺；或谓圆径一百一十三，周围三百五十五。径一而周三一四，犹自径多围少；径七而周二十二，却是径少周多；径一百一十三，周三百五十五，最为精密。其考究之术，两百眼茶盘一，眼广一寸，方图之内，画为圆图，径十寸，圆内又画小方图。小方以算术展为圆象，自四角之方，添为八角曲圆为第一次。若第二次，则为曲十六。第三次为，则曲三十二。第四次则为曲六十四。凡多一交，其曲必倍。至十二次，则其为曲一万六千三百八十四。其初之小方，渐加渐展，渐满渐实，角放愈多，而其为方者不复方，而变为圆矣。今先以第一次言之，内方之弦十寸，名大弦，自乘得一百寸，名大弦幂，内方之勾幂五十寸，名第一次大勾幂。以第一次大勾幂，减其大弦幂，余五十寸，名大股幂，开方得七寸七厘一毫有奇，名第一次大股。以第一次大股减其大弦，余二寸九分二厘八毫有奇，名第一较，折半得一寸四分六厘四毫有奇，名第一次小勾。此小勾之数。乃内方之四边与圆围最相远处也。以第一次小勾自乘，得二寸一分四厘四毫有奇，名第一次小勾幂。以第一次大勾幂，折半得二十五寸。又折半得十二寸五分，名第一次小股幂，并第一次小勾幂，得一十四寸六分四百四毫有奇，名第一次小弦幂，开方得三寸八分二厘六毫有奇，名第一次小弦，即是八曲之一。八乘第一次小弦，行三十寸六分一厘有奇，即是八曲之周围也。此以小数求之，不若改为大数，将大弦改为一千寸，然后依法而求。若求第二次者，以第一次小弦幂，就名第二次大勾幂。以第一次大股幂减其大弦幂余，为第二次大股幂。开方为第二次大股，以减其大弦余为第二较，折半名二次小勾。此小勾之数，即是八曲之边，与圆围最相远处也。以第二次小勾自乘，名第二次小勾幂。以第二次大勾幂两折，名第二次小股幂。以第二次小股幂并第二次小勾幂，名第二次小弦幂，开方为第二次小弦，即是十六曲之一。以十六乘第二小弦即是十六曲之周围也。以第二次仿第一次，若至十二次，亦递次相仿。置第十二次之小弦，以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也。以一百一十三乘之，果得三百五十五。故言其法精密。要之方为数之始，圆为数之终。圆始于方，方终于圆。周髀之术，无出于此矣。
友钦阐明历理，于授时术尤为深得，传其学于龙游人朱晖。有元一代，不为历官，而知历者，友钦一人而已。
△仪器
西域仪象
简仪之制：四方为趺，纵一丈八尺三分，去一以为广。趺面上广六寸，下广八寸，厚如上广。中布横车光三、纵车光三。南二，北抵南车光；北一，南抵中车光。趺面四周为水渠，深一寸，广加五分。四隅为础，出趺面内外各二寸。绕础为渠，深广皆一寸，与四周渠相灌通。又为础，于卯酉位广加四维，长加广三之二。水渠赤如之。北极云架柱二，径四寸，长一丈二尺八寸。下为鳌云，植于乾民二隅。础上左右内向，其势斜准赤道合贯上规。规环径二尺四寸，广一寸五分，厚倍之，中为距，相交为斜十字，广厚如规。中心为窍，上广五分，方一寸有半，下二寸五分，方一寸，以受北极枢轴。自云架住斜上去趺面七尺二寸，为横车光。自车光心上至窍心六尺八寸。又为龙柱二，植于卯酉础。中分之北，皆饰以龙，下为山形，北向斜植，以柱北架。南极云架柱二，植于卯酉础，中分之，南广厚形制一如北架，斜向坤巽二隅，相交为十字。其上与百刻环边齐，在辰巳、未申之间。南倾之势准赤道，各长一丈一尺五寸。自趺面斜上三尺八寸为横车光，以承百刻环。下边又为龙柱二。植于坤巽二隅，础上北向斜柱，其端形制一如北柱。
四游双环，径六尺，广二寸，厚一寸。中间相离一寸，相连于子午、卯酉。当子午为圆窍，以受南北极枢轴。两面皆列周天度分，起南极。抵北极。余分附于北极。去南极枢窍两旁四寸，各为直距，广厚如环距，中心各为横关，东西与两距相连，广厚亦如之。关中心相连，厚三寸，为窍方八分，以受窥衡枢轴。窥衡长五尺九寸四分，广厚皆如环。中腰为圆窍，径五分，以受枢轴衡。两端为圭首，以取中，缩去圭首五分，各为侧立横耳，高二寸二分，广如衡面，厚三分。中为圆窍，径六分，其中心上下一线，界之以知度分。
百刻环，径六尺四寸，面广二寸，周布十二时百刻。每刻作三十六分，厚二寸，自半已上，广三寸。又为十宇距。皆所以承赤道环也。百刻环内广面卧施圆轴四，使赤道环旋转，无涩滞之患。其环陷入南极架一寸，仍钉之。赤道环径广厚皆如四游环。面细刻列舍周天度分。中为十字距，广三寸，中空一寸，厚一寸。当心为窍，窍径一寸，以受南极枢轴。界衡二，各长五尺九寸四分，广三寸。衡首斜剡五分刻度分，以对环面中腰。为窍重置赤道环南极枢轴，其上衡两端自长窍外边至衡首底厚倍之。取二衡运转，皆着环面，而无低昂之失，且易得度分也。二极枢轴，皆以钢铁为之，长六寸，半为本，半为轴。本之为分寸一如上规。距心适取，能容轴径一寸。北极轴中心为孔，孔底横穿通两旁。中出一线，曲其本，出横孔两旁，结之。孔中线留三分，亦结之。上下各穿一线，贯界衡两端。中心为孔，下洞衡底顺衡中心为渠，以受线直入内界。长窍中至衡中腰，复为孔，自衡底上出结之。
定极环，广半寸。厚倍之，皆势穹窿，中径六度，度约一寸许。极星去不动处三度，仅容转周。中为斜十字，距广厚如环，连于上规环，距中心为孔径五厘。下至北极轴心六寸五分。又置铜板，连于南极云架之十字，方二寸，厚五分，北面剡其中心存一厘以为厚。中为圜孔，径一分，孔心下至南极轴心亦六寸五分。又为环二。其一阴纬环，面刻方位，取趺面纵横车光北十字为中心，卧置之。其一曰立运环，面刻度分，施于北极云架柱下，当卧环中心上属架之横车光下，抵趺车光之十字，上下各施枢轴，令可旋转。中为置距，当心为窍，以施窥衡，令可俯仰，用窥日月星辰出地度分。右四游环，东西运转，南北低昂，凡七政，列舍中外官去极度分皆测之。赤道环旋转与列舍距星相当，即转界衡使两线相对，凡日月五星中外官入宿度分皆测之。百刻环转界衡令两线与日相对，其下直时刻则昼刻也。夜则以星定之，比旧仪测日月五星出没而无阳经阴纬云柱之映。
其浑象之制：圜如弹丸，径六尺，纵横各画周天度分，赤道居中，去二极各周天四之一。黄道出入赤道内外，各二十四度。弱月行白道出入不常，用竹蔑均分天度，考验黄道所交，随时迁徒。先用简仪测致入宿去极度数，按于上。其校验出黄赤二道远近疏密，了然易辨，仍参以算数为准，其象置于方匿之上。南北极出入匿面各四十度太强。半见半隐。机运轮牙，隐于匿中。
仰仪之制：以铜为之，形若釜，置于砖台内，画周天度，唇列十二辰位，盖俯视验天者也。
其铭辞云：“不可体形，莫天大也。无兢维人，仰釜载也。六尺为深，广自倍也。兼深广倍，絮釜兑也。环凿为沼，准以溉也。辨方正位，日子卦也。衡缩度中，平斜再也。斜起南极，平釜镦也。小大必周，入地画也。始周浸断，浸极外也。极入地深，四十太也。北九十一，赤道齘也。列刻五十，六时配也。衡竿加卦，巽坤内也。以负缩竿，子午对也。首旋玑板，曌纳芥也。上下悬直，与镦会也。视日透光，何度在也。旸谷朝宾，夕饯昧也。寒暑发敛，验进退也。薄蚀起自，鉴生杀也。以避赫曦，夺目害也。南北之偏，亦可概也。极浅十五。林邑界也。黄道夏高，人所载也。夏永冬短。犹少差也，深五十奇，铁勒塞也，黄道浸平，冬画晦也。夏则不没，永短最也。安浑宣夜，昕穹盖也。六天之书，言殊话也。一仪一揆，孰善悖也。以指为告，无烦喙也。暗资以明，疑者沛也。智者是之，胶者怪也。古今巧历，不亿辈也。非让不为，思不逮也。将窥天朕，造化爱也。其有浚明，昭圣代也。泰山砺乎，河如带也。黄金不磨，悠久赖也。鬼神禁河，勿铭坏也。”
大明殿灯漏之制：高丈有七尺，架以金为之。其曲粱之上，中设云珠，左日右月。云珠之下，复悬一珠。粱之两端，饰以龙首，张吻转目，可以审平水之级急。中梁之上，有戏珠龙二，随珠俯仰，又可察准水之均调。凡此皆非徒设也。灯球杂以金宝为之，内分四层，上环布四神，旋当日月参辰之所在，左转日一周。次为龙虎鸟龟之象，各居其方，依刻跳跃，铙鸣以应于内。又次周分百刻，上列十二神，各执时牌，至其时，四门通报。又一人当门内，常以手指其刻数。下四隅，钟鼓钲铙各一人，一刻鸣钟，二刻鼓，三钲，四铙，初正皆如是。其机发隐于柜中，以水激之。
正方案：方四尺。厚一寸。四周去边五分为水渠。先定中心，画为十字，外抵水渠。去心一寸。画为圆规，自外寸规之，凡十九规。外规内三分，画为重规。遍布周天度。中为圆径二寸，高亦如之。中心洞底植臬，高一尺五寸，南至则减五寸，北至则倍之。
凡欲正四方，置案平地，注水于渠，眂平，乃植臬于中。自臬景西入外规，即识以墨影，少移辄识之，每规皆然，至东出外规而止。凡出入一规之交，皆度以线，屈其半以为中，即所识与共相当，且其景最短，则南北正矣。复遍阅每规之识，以审定南北。南北既正，则东西从而正。然二至前后，日轨东西行，南北差少，即外规出入之景以为东西，允得其正。当二分前后，日轨东西行，南北差多，朝夕有不同者，外规出入之景或未可凭，必取近内规景为定，仍校以累日则愈真。
又测用之法，先测定所在北极出地度，即自案地平以上度，如其数下对南极入地度，以墨斜经中心界之，又横截中心斜界为十字，即天腹赤道斜势也。乃以案侧立，悬绳取工。凡置仪象皆以此为准。
圭表：以石为之，长一百二十八尺，广四尺五寸，厚一尺四寸。座高二尺六寸。南北两端为池，圆径一尺五寸，深二寸。自表北一尺，与表粱中心上下相直。外一百二十尺，中心广四寸，两旁各一寸，画为尺寸分，以达北端。两旁相去一寸为水渠，深广各一寸，与南北两池相灌通以取平。表长五十尺，广二尺四寸，厚减广之半，植于圭之南端圭石座中，入地及座中一丈四尺，上高三十六尺。其端两旁为二龙，半身附表上擎横梁，自梁心至表颠四尺，下属圭面，共为四十尺。梁长六尺，径三寸，上为水渠以取平。两端及中腰各为横窍，径二分，横贯以铁，长五寸，系线合于中，悬锤取正，且防倾垫。
按表短则分寸短促。尺寸之下所谓分秒太半少之数，未易分别。表长，则分寸稍长。所不便者景虚而淡，难得实影。前人欲就虚景之中考求真实，或设望筒，或置小表，或以木为规，皆取端日光下彻表面。今以铜为表，高三十六尺，端挟以二龙。举一横梁，下至圭面，共四十尺。是为八尺之表五，圭表刻为尺寸，旧一寸，今申而为五厘，毫差易分别。
景符之制：以铜叶博二寸加长博之二，中穿一窍，若针芥然。以方框为趺，一端设为机轴，令可开阖。搘其一端，使其势斜倚，北高南下，往来迁就于虚梁之中。窍达日光仅如米许，隐然见横梁于其中。旧法：一表端测晷，所得者日体上边之景。今以横梁取之，实得中景，不容有毫末之差。至元十六年己卯夏至晷景，四月十九日乙未景一丈二尺三寸六分九厘五毫。至元十六年己卯冬至晷景，十月二十四日戊戌景七丈六尺七寸四分。
窥几之制：长六尺，广二尺，高倍之。下为趺，广三寸，厚二寸。上框广四寸。厚如趺。以板为面，厚及寸，四隅为足，撑以斜木，务取正方。面中开明窍，长四尺，广二寸。近窍两旁一寸分画为尺，内三寸刻为细分，下应圭面。几面上至梁心二十六尺，取以为准。窥限各长二尺四寸，广二寸，脊厚五分，两刃斜禾闪，取其于几面相符，著限两端，厚广各存二寸，衔入几框。俟星月正中，从几下仰望，视表梁南北以为识，折取分寸中数，用为直景。又于远方同日窥测取景数，以推星高下也。
世祖至元四年，扎马鲁丁造西域仪象：
咱秃哈剌吉，汉言浑天仪也。其制：以铜为之。平设单环，刻周天度。画十二辰位以准地面。侧立双环，而结于平环之子午，半入地下，以分天度。内第二双环，亦刻周天度，而参差相交，以结于侧双环。去地平三十六度，以为南北极。可以旋转，以象天运，为日行之道。内第三、第四环，皆结于第二环，又去南北极二十四度。亦可以运转。凡可运三环，各对缀铜方钉，皆有窍，以代衡箫之仰窥焉。
咱秃朔八台，汉言测验周天星曜之器也。外周圆墙，而东面启门。中有小台，立铜表高七尺五寸。上设机轴，悬铜尺，长五尺五寸，复如窥测之箫二，其长如之。下置横尺，刻度如数。其上以准挂尺。下本开图之远近。可以左右转而周窥，可以高低举而遍测。
鲁哈麻亦渺凹只，汉言春秋分晷影堂也。屋二间，脊开东西横罅，以斜通日晷。中有台，随晷影南高北下，上仰置铜半环，刻天度一百八十，以准地上之半天。斜倚锐首铜尺，长六尺，阔一寸六分，上结半环之中，下加半环之上，可以往来窥运，侧望漏屋晷影，验度数，以定春秋二分。
鲁哈嘛亦木思塔余，汉言冬夏至晷影堂也。屋五间，其屋下为坎，深二丈二尺，脊开南北一罅，以直通日晷。随罅立壁，附壁悬铜尺，长一尺六寸。壁仰画天度半规，其尺亦可往来规运，直望漏屋晷影，以定冬夏二至。
若来亦撒麻，汉言浑天图也。其制：以铜为丸，斜刻日道交环度数于其腹，刻二十八宿形于其上。外平置铜单环，刻周天度数，列于十二辰位在准地。而侧立单环二。一结于平环之子午，以铜丁象南北极。一结于平环之卯酉。皆刻天度。即浑天仪而不可运转窥测者也。
若来亦阿儿子，汉言地理志也。其制：以木为圆球，七分为水，其色绿，三分为土地，其色白。画江河湖海，脉络贯串于其中。画作小方井，以计幅员之广袤，道里之远近。
兀速都儿剌不定，汉言昼夜时刻之器也。其制：以铜如圆镜而可挂，面刻十二辰位，昼夜时刻。上加铜条缀中，可以圆转。铜条两端，各屈其首为二窍，以对望。昼则视日影，夜则窥星辰，以定时刻，以测休咎。背嵌镜片，三面刻其图凡七，以辨东西南北日影长短之不同、星辰向背之有异。故各异其图。以尽天地之变焉。
△授时历经上
步气朔第一
至元十八年岁次辛巳为元。上考往古，下验将来，皆距立元为算。周岁消长，百年各一。其诸应等数，随时推测，不用为元。
日周，一万。
岁实，三百六十五万二千四百二十五分。
通余，五万二千四百二十五分。
朔实，二十九万五千三百五分九十三秒。
通闰，十万八千七百五十三分八十四秒。
岁周，三百六十五日二千四百二十五分。
朔策，二十九日五千三百五分九十三秒。
气策，十五日二千一百八十四分三十七秒半。
望策，十四日七千六百五十二分九十六秒半。
弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。
气应，五十五万○六百分。
闰应，二十万一千八百五十分。
按《授时历》闰转交三应，后有改定之数。闰应，二十万一千八百五十分，明《大统历法通轨》作二十万二千五十分，实加二百分；是当时经朔改早二刻也。转应，一十三万一千九百四分，《通轨》作一十三万二百五分，实减一千六百九十九分，是入转改迟一十七刻弱也。交应，二十六万一百八十七分八十六秒，《通轨》作二十六万三百八十八分，实加二百分一十四秒，是正交改早二刻强也。梅文鼎谓《通轨》所述者乃《授时历》续定之数，而《历经》所存，则其未定之初稿是也。
没限，七千八百一十五分六十二秒半。
气盈，二千一百八十四分三十七秒半。
朔虚，四千六百九十四分七秒。
旬周，六十万。
纪法，六十。
推天正冬至
置所求距算，以岁实上推往古，每百年长一。下算将求，每百年消一。乘之，为中积。加气应，为通积。满旬周，去之；不尽，以日周约之为日，不满为分。其日命甲子算外，即所求天王冬至日辰及分。如上考者，以气应减中积，满旬周，去之；不尽，以减旬周。余同上。
求次气
置天正冬至日分，以气策累加之，其日满纪法，去之，外命如前，各得次气日辰及分秒。
推天正经朔
置中积，加闰应，为闰积。满朔实，去之，不昼为闰余，以减通积，为朔积。满旬周，去之，不尽，以日周约之，为日，不满为分，即所求天正经朔日及分秒。上考者，以闰应减中积，满朔实，去之不尽，以减朔实，为闰余。以日周约之为日，不满为分，以减冬至日及分，不及减者，加纪法减之，命如上。
求弦望及次朔
置天正经朔日及分秒，以弦策累加之，其日满纪法，去之，各得弦望及次朔日及分秒。
推没日
置有没之气分秒，如没限已上为有没之气。以十五乘之，用减气策，余满气盈而一，为日，并恒气日，命为没日。
推灭日
置有灭之朔分秒，在朔虚分已下为有灭之朔。以三十乘之，满朔虚而一，为日，并经朔日，命为灭日。步发敛第二
土王策，三日四百三十六分八十七秒半。
月闰，九千六十二分八十二秒。
辰法，一万。
半辰法，五千。
刻法，一千二百。
推五行用事
各以四立之节，为春木、夏火、秋金、冬水首用事日。以土王策减四季中气，各得其季土始用事日。
气候正月
立春，正月节。
东风解冻，蛰虫始振，鱼陟负冰。
雨水，正月中。
獭祭鱼，候雁北，草木萌动。二月
惊蛰，二月节。
桃始华，仓庚鸣，鹰化为鸠。
春分，二月中。
玄鸟至，雷乃发声，始电。三月
清明，三月节。
桐始华，田鼠化为鴽，虹始见。
谷雨，三月中。
萍始生，鸣鸠拂其羽，戴胜降于桑。四月
立夏，四月节。
蝼蝈呜，蚯蚓出，王瓜生。
小满，四月中
苦菜秀，靡草死，麦秋至。五月
芒种，五月节。
螳螂生，贝鸟始鸣，反舌无声。
夏至，五月中。
鹿角解，蜩始鸣，半夏生。六月
小暑，六月节。
温风至，蟋蟀居壁，鹰始挚。
大暑，六月中。
腐草为萤，土润溽暑，大雨时行。七月
立秋，七月节。
凉风至，白露降，寒蝉呜。
处暑，七月中。
鹰乃祭鸟，天地始肃，禾乃登。八月
白露，八月节。
鸿雁来，立鸟归，群鸟养羞。
秋分，八月中。
雷始收声，蛰虫坏户，水始涸。九月
寒露，九月节。
鸿雁来宾，雀入大水为蛤，菊有黄华。
霜降，九月中。
豺乃祭兽，草木黄落，蛰虫咸俯。十月
立冬，十月节。
水始冰，地始冻，雉入大水为蜃。
小雪，十月中。
虹藏不见，天气上升，地气下降，闭塞而成冬。十一月
大雪，十一月节。
鹖旦鸟不鸣，虎始交，荔挺出。
冬至，十一月中。
蚯蚓结，麋角解，水泉动。十二月
小寒，十二月节。
雁北乡，鹊始巢，雉句雅。
大寒，十二月中。
鸡乳，征鸟厉疾，水泽腹坚。
推中气去经朔
置天正闰余，以曰周约之，为日，命之，得冬至去经朔。以月闰累加之，各得中气去经朔日算。满朔策，去之，乃全置闰，然俟定朔无中气者裁之。
推发敛加时
置所求分秒，以十二乘之，满辰法而一，为辰数。余以刻法收之，为刻。命子正算外，即所在辰刻。如满半辰法，通作一作辰，命起子初。
步日躔第三
周天分，三百六十五万二千五百七十五分。
周天，三百六十五度二十五分七十五秒。
半周天，一百八十二度六十二分八十七秒半。
象限，九十一度三十一分四十三秒太。
岁差，一分五十秒。
周应，三百一十五万一千七十五分。
半岁周，一百八十二日六千二百一十二分半。
盈初缩末限，八十八日九千九十二分少。
缩初盈末限，九十三日七千一百二十分少。
推天正经朔弦望入盈缩历
置半岁周，以闰余日及分减之，即得天正经朔入盈缩历。冬至后盈，夏至后缩。以弦策累加之，各得弦望及次朔入盈缩历日及分秒。满半岁周去之，即交盈缩。
求盈缩差
视入限盈者，在盈初缩末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限；缩者，在缩初盈末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限。其盈初缩末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二万四千六百，又以初末限乘之，用减定差五百一十三万三千二百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒。缩初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二万二千一百，又以初末限乘之，用减定差四百八十七万六百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退限为分秒，即所求盈缩差。
又术：置入限分，以其日盈缩分乘之，万约为分，加其下盈缩积，万约为度，不满为分秒，亦得所求盈缩差。
赤过宿度
角十二一十
亢九二十
氐十六三十
房五六十
心六五十
尾十九一十
箕十四十
右东方七宿，七十九度二十分。
斗二十五二十
牛七二十
女十一三十五
虚八九十五太
危十五四十
室十七一十
壁八六十
右北方七宿，九十三度八十分太。
奎十六六十
娄十一八十
胃十五六
昴十一三十
毕十七四十
觜初五
参十一一十
右西方七宿，八十三度八十五分。
井三十三三十
鬼二二十
柳十三三十
星六三十
张十七二十五
翼十八七十五
轸十七三十
右南方七宿，一百八度四十分。
右赤道宿次，并依新制浑仪测定，用为常数，校天为密。若考往古，即用当时宿度为准。
推冬至赤道日度。
置中积，以加周应为通积，满周天分，上推往古，每百年消一。下算将来，每百年长一。去之，不尽，以日周约之为度；不满，退约为分秒。命起赤道虚宿六度外，去之，至不满宿。即所求天正冬至加时日躔赤道宿度及分秒。上考者，以周应减中积，满周天，去之，不尽，以减周天，余以日周之为度；余同上。如当时有宿度，止依当时宿度命之。
求四正赤道日度
置天正冬至加时赤道日度，累加象限，满赤道宿次，去之，各得春夏秋正日所在宿度及分秒。
求四正赤道宿积度
置四正赤道宿全度，以四正赤道日度及分减之，余为距后度。以赤道宿度累加之，各得四正后赤道宿积度及分。
黄赤道率
推黄道宿度
推黄道宿度
置四正后赤道宿积度，以其赤道积度减之，余以黄道率乘之，如赤道率而一。所得，以加黄道积度，为二十八宿黄道积度。以前宿黄道积度减之，为其宿黄道度及分。其秒就近为分。
黄道宿度
角十二八十七
亢九五十九
氐十六四十
房五四十八
心六二十七
尾十七九十五
箕九五十九
右东方七宿，七十八度一十二分。
斗二十三四十七
牛六九十
女十一一十二
虚九分空太
危十五九十五
室十八三十二
壁九三十四
右北方七宿，七十四度一十分太。
奎十七八十七
娄十二三十六
胃十五八十一
昴十一○八
毕十五六十
觜初○五
参十二十八
右西方七宿，八十三度九十五分。
井三十一○三
鬼二一十一
柳十三
星六三十一
张十七七十九
翼二十○九
轸十八七十五
右南方七宿，一百九度八分
右黄道宿度，依今历所汉赤道准冬至岁差所在算定，以凭推步。若上下考验，据岁差每移一度，依术推变，各得当时宿度。
推冬至加时黄道日度
置天正冬至加时赤道日度，以其赤道积度减之，余以黄道卒乘之，如赤道率而一。所得，以加黄道积度，即所求年天正冬至加时黄道日度及分秒。
求四正加时黄道日度
置所求年冬至日躔黄赤道差，与次年黄赤道差相减，余四而一，所得，加象限，为四正定象度。置冬至加时黄道日度，以四正定象度累加之，满黄道宿次，去之，各得四正定气加时黄道宿度及分。
求四正晨前讹夜半日度
置四正恒气日及分秒，冬夏二至，盈缩之端，以恒为宿。以盈缩差命为日分，盈减朔加之，即为四正定气日及分。置日下分，以其日行度乘之，如日周而一。所得，以减四正加时黄道日度，各得四正定晨前夜半日度及分秒。
求四正后每日晨前夜半黄道日度
以四正定气日距后正定气日为相距日，以四正定气晨前夜半日度距后正定气晨前夜半日度为相距度，累计相距日之行定度。与相距度相减，余如相距日而一，为日差。相距度多为加，相距度少为减。以加减四正每日行度率，为每日行定度。累加四正晨前夜半黄道日度，满宿次，去之，为每日晨前夜半黄道日度及分秒。
求每日午中黄道日度
置其日行定度，半之，以加其日晨前夜半黄道日度，得午中黄道日度及分秒。
求每日午中黄道积度
以二至加时黄道日度距所求日午中黄道日度，为二至后黄道积度及分秒。
求每日午中赤道日度
置所求日午中黄道积度，满象限，去之，余为分后。内减黄道积度，以赤道率乘之，如黄道率而一。所得，以加赤道积度及所去象限，为所求赤道积度及分秒。以二至赤道日度加而命之，即每日午中赤道日度及分秒。
黄道十二次宿度
危，十二度六十四分九十一秒。入娶訾之次，辰在亥。
奎，一度七十三分六十三秒。入降娄之次，辰在戌。
胃，三度七十四分五十六秒。入大梁之次，辰在酉。
毕，六度八十八分五秒。入实沈之次，辰在申。
井，八度三十四分九十四秒。入鹑首之次，辰在未。
柳，三度八十六分八十秒。入鹑火之次，辰在午。
张，十五度三十六分六秒。入鹑尾之次，辰在巳。
轸，十度七分九十七秒。入寿星之次，辰在辰。
氐，一度一十四分五十二秒。入大火之次，辰在卯。
尾，三度一分一十五秒。入析木之次，辰在寅。
斗，二度七十六分八十五秒。入星纪之次，辰在丑。
女，二度六分三十八秒。入玄枵之次，辰在子。
求入十二次时刻
各置入次宿度及分秒，以其日晨前夜半日度减之，余以日周乘之，为实。以其日行定度为法，实加法而一，所得，依发敛加时求之，即入次时刻。
步月离第四
转终分，二十七万五千五百四十六分。
转终，二十七日五千五百四十六分。
转中，十三日七千七百七十三分。
初限，八十四。
中限，一百六十八。
周限，三百三十六。
月平行，十三度三十六分八十七秒半。
转差，一日九千七百五十九分九十三秒。
弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。
上弦，九十一度三十一分四十三秒太。
望，一百八十二度六十二分八十七秒半。
下弦，二百七十三度九十四分三十一秒少。
转应，一十三万一千九百四分。
推天正经朔入转
置中积，加转应，减闰余。满转终分，去之，不尽，以日周约之为日，不满为分，即天正经朔入转日及分。上考者，中积内加所求闰余，减转应，满转终，去之，不尽，以减转终，余同上。
求弦塑及次朔入转
置天正经朔入转日及分，以弦策累加之，满转终，去之，即弦望及次朔入转日及分秒。如径求次朔，以转差加之。
求经朔弦望入迟疾历
各视入转日及分秒。在转中已下，为疾历。已上，减去转中，为迟历。
迟疾转定及积度
求迟疾差
置迟疾历日及分，以十二限二十分乘之，在初限已下为初限，已上覆减中限，余为末限。置立差三百二十五，以初末限乘之，加平差二万八千一百，又以初末限乘之，用减定差一千一百一十一万，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即迟疾差。
又术：置迟疾历日及分，以迟疾历日率减之，余以其下损益分乘之。如八百二十而一，益加损减其下迟疾度，亦为所求迟疾差
求朔弦望定日
以经缩弦望盈缩差与迟疾差，同名相从，异名相消，盈迟缩疾为同名，盈疾缩迟为异名。以八百二十乘之，以所入迟疾限下行度除之，即为加减差，盈迟为加，缩疾为减。以加减经朔弦望日及分，即定朔弦塑日及分。若定弦望分在日出分已下者，退一日，其日命甲子算外，各得定朔弦望日辰。定朔干名与后朔干同者，其月大。不同者，其月小。内无中气者，为闰月。
推定朔弦望加时日月宿度
置经朔弦望入盈缩历日及分，以加减差加减之，为定朔弦望入历，在盈，便为中积，在缩，加半岁周，为中积。命日为度，以盈缩差盈加缩减之，为加时定积度。以冬至加时日躔黄道缩度加而命之，各得定朔弦望加时日度。凡合朔加时，日月同度，便为定朔加时月度。其弦望各以弦望度加定积，为定弦望月行定积度。依上加而命之，各得定弦望加时黄道月度。
推定朔弦望加时赤道月度
各置定朔弦望加时黄道月行定积度，满象限，去之，以其黄道积度减之，余以赤道率乘之，如黄道率而一，用加其下赤道积度及所去象限，各为赤道加时定积度。以冬至加时赤道日度加而命之，各为定朔弦望加时赤道月度及分秒。象限以下及半周，去之，为至后。满象限以及三象，去之，为分后。
推朔后平交入转迟疾历
置交终日及分，内减经朔交日及分，为朔后平交日。以加经朔入转，为朔后平交入转。在转中已下，为疾历。已上，去之，为迟历。
求正交日辰
置经朔，加朔后平交日，以迟疾历依前求到迟疾差，迟加疾减之，为正交日及分，其日命甲子算外，即王交日辰。
推正交加时黄道月度
置朔后平交日，以月平行度乘之，为距后度。以加经朔中积，为冬至距正交定积度。以冬至日躔黄道宿度加而命之，为正交加时月离黄道宿度及分秒。
求正交在二至后初末限
置冬至距正交积度及分，在半岁周已下，为冬至后。已上，去之，为夏至后。其二至后，在象限已下，为初限。已上，减去半岁周，为末限。
求定差距差定限度
置初末限度，以十四度六十六分乘之，如象限而一，为定差。反减十四度六十六分，余为距差。以二十四乘定差，如十四度六十六分而一。所得，交在冬至后名减，夏至后名加，皆加减九十八度，为定限度及分秒。
求四正赤道宿度
置冬至加时赤道度，命为冬至正度。以象限累加之，各得春分、夏至、秋分正积度。各命赤道宿次去之，为四正赤道宿度及分秒。
求月离赤道正交宿度
以距差加减春秋二正赤道宿度，为月离赤道正交宿度及分秒。冬至后，初限加，末限减，视春正。夏至后，初限减，末限加，视秋正。
求正交后赤道宿积度入初末限
各置春秋三正赤道所当宿全度及分，以月离赤道五交宿度及分减之，余为正交后积度。以赤道宿次累加之，满象限去之，为半交后。又去之，为中交后。再去之，为半交后。视各交积度在半象已下，为初限。已上，用减象限，余为末限。
求月离赤道正交后半交日道旧名九道。出入赤道内外度及定差
置各交定差度及分，以二十五乘之，如六十一而一。所得，视月离设道下交在冬至后宿度为减，夏至后宿度为加，皆加减二十三度九十分。为月离赤道后半交白道出入赤道内外度及分。以周天六之一，六十度八十七分六十二秒半，除之，为定差。月离赤道正交后为外，中交后为内。
求月离出入赤道内外白过去极度
置每日月离赤道交后初末限，用减象限，余为白道积。用其积度减之，余以其差率乘之，所得，百约之，以加其下积差，为每日积差。用减周天六之一，余以定差乘之，为每日月离赤道内外度。内减外加象限，为每日月离白道去极度及分秒。
求每交月离白道积度及宿次
置定限度，与初末限相减相乘，退位为分，为定差。正交、中交后为加，半交后为减。以差加减正交后赤道积度，为月离白道定积度。以前宿白道定积度减之，各得月离白道宿次及分。
推定朔弦望加时月离白道宿度
各以月离赤道正交宿度距所求定期弦望加时月离赤道宿茂，为正交后积度。满象限，去之，为半交后。又去之，为中交后。再去之，为半交后。视交后积度在半象已下，为初限。已上，用减象限，为末限。以初、末限与定限度相减相乘，退位为分，分满百为度，为定差。正交、中交后为加，半交后为减。以差加减月离赤道正交后积度，为定积度。以正交宿度加之，以其所当月离白道宿次去之，各得定朔弦望加时月离白道度及分秒。
求定朔望加时及夜半晨昏入转
置经朔弦望入转日及分，以定朔弦望加减差加减之，为定朔弦望加时入转。以定朔弦望日下分减之，为夜半入转。以晨分加之，为晨转。昏分加之，为昏转。
求夜半月度
置定朔弦望日下分，以其入转日转定度乘之，万约为加时转度，以减加时定积度，余为夜半定积度，依前加而命之，各得夜半月离宿度及分秒。
求晨昏月度
置其日晨昏分，以夜半入转日转定度乘之，万约为晨昏转度。各加夜半定积度。为晨昏定积度。加命如前，各得晨昏月离宿度及分秒。
累计相距日数转定度，为转积度，与定朔弦望晨昏宿次前后相距度相减，余以相减日数除之，为日差。距度多为加，距度少为减。以加减每日转定度，以累加定朔弦望晨昏月度，加命，即每日晨昏月离白道宿次。朔后用昏，望后用晨，朔望晨昏俱用。
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